jjycjn's Math Storehouse

지난 글에서 다음과 같이 정의된 감마함수(gamma function) \[ \Gamma(z) := \int_{0}^{\infty} t^{z-1}e^{-t} \,dt, \qquad (\operatorname{Re}(z) > 0) \] 가 계승(factorial) 함수의 확장임을 보였다. 하지만 계승 함수는 자연수에서만 정의된 함수이므로 이를 실수로 확장하는 연속함수는 무한히 많이 존재한다. 그렇다면 왜 하필 다른 함수가 아닌 감마함수를 계승함수의 자연스러운 확장으로 여기는 걸까? 우선 감마함수가 가지는 몇 가지 유용한 사실들을 살펴보자. 먼저 감마함수는 (1) $f(1) = 1$이 성립하고, (2) 모든 $x > 0$에 대하여 $f(x+1) = x f(x)$가 성립한다. 또한 감마함수가 가지는 중요한 사실..

이번 글에서는 반지름이 $r$인 $n$차원 초구(hyperball)의 초부피(hypervolume)를 계산할 것이다. 논의를 간단히 하기 위하여 $V_n(r)$을 반지름이 $r$인 $n$차원 초구의 초부피로 정의하자. 먼저 $n=1$인 경우, 반지름이 $r$인 초구(선분)는 구간 $(-r,\, r)$과 같으므로 초부피(길이)는 $2r$이 된다. 또한 $n=2$인 경우, 반지름이 $r$인 초구(원)의 초부피(넓이)는 적분을 이용하여 다음과 같이 구할 수 있다. (아래 적분은 $x=r\sin(\theta)$로 치환적분을 하면 간단히 구할 수 있다.) \[ \int_{-r}^{r} V_1\left( \!\! \sqrt{r^2 - x^2} \right) \, dx = \int_{-r}^{r} 2\sqrt{r^2..

가우스 적분(Gaussian integral)이란 아래와 같은 형태의 이상적분의 값을 말한다. \[ 2 I := 2 \int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}} \,dx = \sqrt{\pi} = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} \,dx \] 함수 $f(x) = e^{-x^2}$이 우함수(even function)이기 때문에 위 식이 자명하게 성립한다. 가우스 적분을 계산하는 방법은 여러가지가 알려져 있는데, 오늘은 그 중에 간단한 방법 몇 가지만 알아보고자 한다. 방법 1. 푸비니-토넬리 정리(Fubini-Tonelli theorem)을 이용한 방법 먼저 아래와 같은 이중적분을 생각해 보자. \[ \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} xe..