자연로그를 거듭제곱근을 포함한 식의 극한을 이용한 표현
이번에 설명할 공식은 영국의 천문학자이자 수학자 에드몬드 핼리(Edmond Halley)가 발견한 자연로그를 거듭제곱근을 포함한 식의 극한으로 표현하는 방법이다. 정리. 임의의 $x>0$에 대하여 다음이 성립한다.\[ \ln{x} = \lim_{n \to \infty} n(\sqrt[n]{x}-1) \] 증명. 이 증명의 핵심은 거듭제곱근을 $e$의 거듭제곱의 형태로 나타낸 뒤, 지수함수의 급수전개를 이용하는 것이다. 즉, 다음을 얻는다.\begin{align*} n(\sqrt[n]{x}-1) &= n\left( e^{\frac{\ln{x}}{n}}-1 \right) \\ &= n\left( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(\ln{x}/n)^{k})}{k!} -1 \right) \\ &=..