jjycjn's Math Storehouse

1. Definitions and Examples 임의의 실수 $x \in \R$에 대하여, $x$의 절댓값 $\abs{x}$는 $x$가 원점으로 부터 얼마나 떨어져 있는가, 혹은 $x$의 '크기'를 타나내는 함수이다. 이를 일반적인 벡터공간(vector space)로 확장한 개념이 노름(norm)이라는 개념이다. 먼저 노름의 정의부터 살펴보자. 정의 1.1.1 $X$를 체 $\F$ ($\R$ 또는 $\C$) 위의 벡터공간(vector space)라 하자. $X$ 위에서의 노름(norm)은 아래의 조건을 만족하는 함수 $\norm{\cdot} : X \to \R$이다. (1) 모든 $x \in X$에 대하여 $\norm{x} \geq 0$. (2) $\norm{x} = 0$이면, 그리고 그 때에만 $x ..

이전 글에서 우리가 흔히 위상수학이라고 부르는 일반위상수학(general topology) 또는 점-집합 위상수학(point-set topology)은 최소한의 공리로부터 시작하여 집합 위에서의 극한 및 연속성을 잘 정의하기 위해서 시작한 수학의 한 분야임을 살펴 보았다. 이를 다시 한번 확인해 보자. 우선 직관적으로 주어진 함수가 연속이려면, $x$와 $y$의 거리가 충분히 가까우면, 함수값 $f(x)$와 $f(y)$의 값도 가까워야 한다. 예를 들어 아래와 같이 정의된 함수는 연속이 아니다. $x$와 $y$ 사이의 거리가 아무리 가깝더라도 $y$가 $x$보다 조금이라도 크다면, $f(x)$와 $f(y)$ 사이의 거리가 절대 가까워 질 수 없기 떄문이다. 이러한 사실을 거리공간(metric space)..

위상수학은 무엇을 공부하는 학문일까? 오늘은 위상수학(topology)에 대한 일반적인 얘기로 시작해 보려고 한다. 우리가 흔히 학부 수준에서 접하는 위상수학은 사실 일반위상수학(general topology) 또는 점-집합 위상수학(point-set topology)으로 불리는 위상수학의 한 하위 분야로서, 주로 집합의 위상적 성질을 다루는 학문이다. 따라서 누군가가 우리에게 "위상수학은 뭘 공부하는 학문이야?" 라고 물어봤을 때 할수 있는 잘 알려진 대답인, "주어진 대상을 자르거나 붙이지 않고 변화시켜서 다른 대상으로 바꾸어도 변하지 않는 성질들을 연구하는 학문이야." 라고 말하면, 사실 엄밀하게 말하면 반은 맞고 반은 틀린 대답이 된다. 위상수학이 이러한 성질들을 연구하는 학문인건 맞지만, 우리가..