Degree Theory (2) - Properties

이번에는 Brouwer Degree의 다양한 성질들을 알아보고자 한다. 앞으로 나올 정리 및 예제에서 따로 언급이 없다면, triple $(f,\, \Omega,\, y)$는 $f \in C(\bar{\Omega})$와 $y \notin f(\partial \Omega)$를 만족하고, 따라서 Brouwer degree $\operatorname{deg}(f,\, \Omega,\, y)$가 잘 정의된다고 가정한다.

Theorem 2.1 (Solution Property)

만약 $\operatorname{deg}(f,\, \Omega,\, y) \neq 0$이면, $f(x)=y$의 해가 존재한다.

Theorem 2.2 (Continuity Property)

만약 mapping $g \in C(\bar{\Omega})$ 와 $z \in \mathbb{R}^n$ 에 대하여, 양의 실수 $\epsilon >0$가 존재하여, 모든 $x \in \bar{\Omega}$에 대하여 $|f(x)-g(x)| + |y-z| < \epsilon$을 만족하면, $\operatorname{deg}(f,\, \Omega,\, y) = \operatorname{deg}(g,\, \Omega,\, z)$이다.

위 Theorem 2.2에 의해, 다음과 같은 중요한 사실을 이끌어 낼 수 있다. 만약 집합 $C$를

\[ C := \{ f \in C(\bar{\Omega}) : y \notin f(\partial \Omega) \} \]

와 같이 정의하면, $C$는 $\rho(f,\,g) := ||f-g||$로 정의된 metric $\rho$에 의한 metric space가 된다. 이제 mapping $d: C \to \mathbb{N}$을 $d(f) := \operatorname{deg}(f,\, \Omega,\, y)$와 같이 정의하면, Theorem 2.2에 의해 $d$는 $C$에서 $\mathbb{N}$ (이 때, $\mathbb{N}$는 discrete topology로 간주한다)으로 가는 continuous function임을 보일 수 있다. 따라서, $d$는 $C$의 connected component들에 대하여 constant function이 된다. 이를 다시 정리하면 (개인적으로 degree theory에서 가장 중요하다고 생각하는) 아래 정리를 얻을 수 있다.

Theorem 2.3 (Homotopy Invariance Property)

두 mapping $f,\,g : \bar{\Omega} \to \mathbb{R}^n$이 $f,\,g \in C(\bar{\Omega})$이고, $y \in \mathbb{R}^n$이 존재하여, 모든 $x \in \partial \Omega$에 대해 $f(x) \neq y \neq g(x)$를 만족한다고 하자. 또한 mapping $h:[a,\,b] \times \bar{\Omega} \to \mathbb{R}^n$이 연속(continuous)이고, 

1. 모든 $x \in \bar{\Omega}$에 대하여 $h(a,\,x) = f(x)$, $h(b,\,x) = g(x)$이고,

2. 모든 $(t,\,x) \in [a,\,b] \times \partial \Omega$에 대하여 $h(t,\,x) \neq y$를 만족한다고 하자. 

그러면, 모든 $a \leq t \leq b$에 대하여 $\operatorname{deg}(h(t,\,\cdot),\,\Omega,\,y) = \text{constant}$가 성립하고, 특히,

\[ \operatorname{deg}(f,\, \Omega,\, y) = \operatorname{deg}(g,\, \Omega,\, y) \]

가 성립한다.

위 Theorem 2.3으로부터 다음 두개의 Corollary를 도출해 낼 수 있다.

Corollary 2.4

두 mapping $f,\,g : \bar{\Omega} \to \mathbb{R}^n$이 $f,\,g \in C(\bar{\Omega})$이고, $y \in \mathbb{R}^n$이 존재하여, 모든 $x \in f(\partial \Omega)$에 대해 $f(x) \neq y \neq g(x)$를 만족한다고 하자. 만약 모든 $x \in \partial{\Omega}$에 대하여, $|f(x) - g(x)| < |f(x) -y|$를 만족하면, $\operatorname{deg}(f,\, \Omega,\, y) = \operatorname{deg}(g,\, \Omega,\, y)$이 성립한다.

Corollary 2.5

두 mapping $f,\,g : \bar{\Omega} \to \mathbb{R}^n$이 $f,\,g \in C(\bar{\Omega})$이고, $y \in \mathbb{R}^n$이 존재하여, 모든 $x \in f(\partial \Omega)$에 대해 $f(x) \neq y \neq g(x)$를 만족한다고 하자. 만약 모든 $x \in \partial{\Omega}$에 대하여, $f(x) = g(x)$&를 만족하면, $\operatorname{deg}(f,\, \Omega,\, y) = \operatorname{deg}(g,\, \Omega,\, y)$이 성립한다. 다시 말해, degree는 오직 boundary data에만 영향을 받는다.

이제 실제로 degree를 계산하는데 도움이 되는 기타 중요한 성질들을 아래에 정리해 본다.

Theorem 2.6 (Additivity Property)

$\Omega$가 bounded open set 이고 $\Omega_1,\, \ldots,\, \Omega_k$의 disjoint union으로 표현된다고 하자. 만약 $f: \Omega \to \mathbb{R}^n$이 $f \in C(\bar{\Omega})$을 만족하고, 모든 $i= 1,\,\ldots,\,k$에 대하여 $y \notin f(\partial \Omega_i)$이면,

\[ \operatorname{deg}(f,\, \Omega,\,y) = \sum_{i=1}^{k} \operatorname{deg}(f,\, \Omega_i,\,y). \]

Theorem 2.7 (Excision Property)

$\Omega$가 bounded open set 이고  $f: \Omega \to \mathbb{R}^n$이 $f \in C(\bar{\Omega})$을 만족하며, $\bar{\Omega}$의 closed subset $K$가 존재하여, $y \notin f(\partial \Omega \cup K)$를 만족한다고 하자. 그러면

\[ \operatorname{deg}(f,\, \Omega,\, y) = \operatorname{deg}(f,\, \Omega \setminus K,\, y). \]

Theorem 2.8 (Cartesian Product Formula)

$\Omega = \Omega_1 \times \Omega_2 \subseteq \mathbb{R}^{n_1 + n_2}$가 bounded open set이라 하자. (당연히, $\Omega_1 \subseteq \mathbb{R}^{n_1}$, $\Omega_2 \subseteq \mathbb{R}^{n_2}$ 또한 각각의 공간에서 bounded open set이다.) $x \in \mathbb{R}^{n_1 + n_2}$를 $x = (x_1,\, x_2)$, $x_1 \in \mathbb{R}^{n_1}$, $x_2 \in \mathbb{R}^{n_2}$와 같이 나타내자. 만약 mapping $f: \bar{\Omega} \to \mathbb{R}^{n_1 + n_2}$를 $f_i : \bar{\Omega}_i \to \mathbb{R}^{n_i}$에 대하여, $f(x) = (f_1(x_1),\, f_2(x_2))$와 같이 정의하고, $y = (y_1,\, y_2) \in \mathbb{R}^{n_1 + n_2}$가 존재하여, $y_i \notin f_i(\partial \Omega_i)$를 만족한다고 하자. 그러면,

\[ \operatorname{deg}(f,\, \Omega,\, y) = \operatorname{deg}(f_1,\, \Omega_1,\, y) + \operatorname{deg}(f_2,\, \Omega_2,\, y). \]