노름(norm)에서 내적(inner product)으로?

임의의 내적공간 $(V,\, \langle \cdot,\, \cdot \rangle)$가 주어졌다고 하자. 그러면 임의의 원소 $x \in V$에 대하여, 아래과 같이 노름 (norm)을 자연스럽게 정의할 수 있다.

\[ \Vert x \Vert := \sqrt{\langle x,\, x \rangle}. \]

따라서 모든 내적공간 (inner product space)^[각주:1]은 노름공간 (normed linear space)^[각주:2]이 된다. 모든 내적이 위의 정의에 의해 노름을 정의하기 때문이다. 그렇다면, 모든 노름은 사실 어떠한 내적으로부터 유도된 것이라고 생각할 수 있을까? 이 문제에 대한 답을 하기 전에 먼저 내적의 정의에 의해 자연스럽게 유도되는 아래의 정리를 먼저 살펴보자.

정리 [평행사변형 법칙 (Parallelogram Law)]

임의의 내적공간 (inner product space) $(V,\, \langle \cdot,\, \cdot \rangle)$의 두 원소 $x,\, y \in V$에 대하여 다음이 성립한다.

\[ \Vert{x+y} \Vert ^2 + \Vert {x-y} \Vert^2 = 2\left( \Vert x \Vert^2 + \Vert y\Vert^2 \right). \]

(물론 여기서의 노름은 $\Vert x \Vert := \sqrt{\langle x,\, x \rangle}$로 정의 된다.)

증명. 내적의 정의에 의해 다음의 식이 자연스럽게 유도 된다.

\[ \begin{aligned} \Vert x+y \Vert^2 + \Vert x-y \Vert^2 & = \langle x+y,\, x+y \rangle + \langle x-y,\, x-y \rangle \\ & = \left[ \langle x,\, x \rangle + \langle x,\, y \rangle + \langle y,\, x \rangle + \langle y,\, y \rangle \right] \\ & \qquad + \left[ \langle x,\, x \rangle - \langle x,\, y \rangle - \langle y,\, x \rangle + \langle y,\, y \rangle \right] \\ & = 2 \langle x,\, x \rangle + 2 \langle y,\, y \rangle \\ & = 2\Vert x \Vert^2 + 2\Vert y \Vert^2. \end{aligned} \]

따라서 평행사변형 법칙이 성립함을 알 수 있다. ■

따라서 모든 내적 공간은 위의 평행사변형 법칙을 만족해야 한다. 이제, $\mathbb{R}^2$의 원소 $x = (x_1,\, x_2)$ 에 대하여, $\Vert x \Vert_\infty := \max \{ \vert x_1 \vert,\, \vert x_2 \vert \}$로 정의된 노름은 내적으로부터 정의될 수 없을을 증명해보자.

만약에 노름 $\Vert \cdot \Vert_\infty$가 어떠한 내적으로부터 정의되었다면, 평행사변형 법칙을 만족해야만 한다. 이제 $\mathbb{R}^2$의 두 원소 $x=(1,\,0)$ and $y=(0,\,1)$를 생각해 보자. 그러면, $x+y = (1,\,1)$ 와 $x-y = (1,\,-1)$ 을 간단히 얻을 수 있다. 이제 이 네 원소들의 노름을 생각해 보자.

\[ \Vert x \Vert_\infty = \Vert y \Vert_\infty = \Vert x+y \Vert_\infty = \Vert x-y \Vert_\infty = 1, \]

위 계산 결과로 부터 아래를 얻는다.

\[ \Vert x+y \Vert_\infty + \Vert x-y \Vert_\infty = 2 \neq 4 = 2\left( \Vert x \Vert_\infty^2 + \Vert y \Vert_\infty^2 \right). \]

따라서, 노름공간 $(\mathbb{R}^2,\, \Vert \cdot \Vert_\infty)$는 평행사변형 법칙을 만족하지 못함을 알 수 있고, 따라서 어떤 내적으로부터도 유도될 수 없을을 알 수 있다.

그러면 어떠한 경우에 주어진 노름이 내적으로부터 유도된 것임을 알 수 있을까? 또한 어떠한 경우에 주어진 노름으로부터 새로운 내적을 정의할 수 있을까? 이 두 질문에 대한 대답은 아래 정리로부터 얻을 수 있다.

정리 [Jordan-Von Neumann Theorem]

노름공간 $(V,\, \Vert \cdot \vert)$이 평행사변형 법칙을 만족한다고 하자. 그러면 아래와 같은 방법으로 $V$에서의 내적을 정의할 수 있다.

1. $V$가 실수체 $\mathbb{R}$ 위에서 정의된 경우:

\[ \langle x,\, y \rangle := \frac{1}{4} \left( \Vert x+y \Vert^2 - \Vert x-y \Vert^2 \right). \tag{$*$} \]

2. $V$가 복소수체 $\mathbb{C}$ 위에서 정의된 경우:

\[ \begin{aligned} \langle x,\, y \rangle :&= \frac{1}{4} \sum_{k=0}^{3} i^k \Vert x + i^k y \Vert^2 \\ &= \frac{1}{4} \left( \Vert x+y \Vert^2 - \Vert x-y \Vert^2 + i\Vert x+iy \Vert^2 - i\Vert x-iy \Vert^2 \right). \end{aligned} \]

따라서 $V$는 내적공간이 되고, 모든 $x \in V$에 대하여 $\Vert x \Vert = \sqrt{\langle x,\, x \rangle}$ 를 만족한다.

증명. 증명을 간단히 하기 위해 $V$가 실수체 $\mathbb{R}$ 위에서 정의되었다고 가정하자. ($V$가  $\mathbb{C}$ 위에서 정의된 경우도 비슷하게 (하지만 좀 더 길게) 증명할 수 있다.) 우리는 $(*)$로 정의된 내적이 실제로 내적의 네가지 공리를 만족함을 노름의 공리와 평행사변형 법칙으로부터 유도해야만 한다. 하나씩 살펴 보도록 하자. 나중에...

1. https://en.wikipedia.org/wiki/Inner_product_space [본문으로]
2. https://en.wikipedia.org/wiki/Normed_vector_space [본문으로]