응집 방법(condensation method)을 통한 행렬식 계산
주어진 $n \times n$ 정사각행렬 $A$의 행렬식(determinant)를 $\abs{A}$ 나타내기로 하자. 이번 글에서는 $2 \times 2$ 행렬의 행렬식을 구하는 계산만을 반복하여 $A$의 행렬식을 구하는 도지슨의 응집 방법(condensation method)에 대하여 알아볼 것이다. 여기서 찰스 럿위지 도지슨(Charles Lutwidge Dodgson)은 소설 "이상한 나라의 앨리스(Alice's Adventures in Wonderland)"의 저자로 잘 알려진 루이스 캐럴(Lewis Carroll)의 본명이다. 도지슨의 응집 방법(condensation method) 도지슨의 응집 방법(condensation method)은 주어진 행렬쌍 $k \times k$ 정사각행렬 $A$..
Algebra/Matrix Algebra  |  2020. 9. 14. 11:35
산술 도함수(arithmetic derivative)에 대하여 - 2. 유리수로의 확장
산술 도함수(arithmetic derivative) $(\cdot)' : \N \to \N_0$는 미분가능한 함수들에 대한 곱의 미분법(product rule)과 유사한 법칙을 만족하도록 양의 정수 위에서 정의된 다음 성질을 만족하는 함수이다. 임의의 소수 $p$에 대하여, $p' = 1$. 임의의 양의 정수 $m,\, n$에 대하여, $(mn)' = m' \cdot n + m \cdot n'$. 이번 글에서는 산술 도함수의 정의역을 ($0$과 음의 정수를 포함한) 정수, 그리고 더 나아가 유리수까지 확장해 볼 것이다. 산술 도함수(arithmetic derivative)의 유리수로의 확장 먼저 산술 도함수의 정의를 정수 범위까지 확장해 보도록 하자. 이때, 산술 도함수가 정수 범위까지 확장되더라도 산..
Algebra/Number Theory  |  2020. 7. 29. 14:39
산술 도함수(arithmetic derivative)에 대하여 - 1. 정의와 기본 성질
미분 가능한 함수 $f,\, g$에 대하여 곱의 미분법(product rule)은 다음과 같다. \[ (fg)' = f' \cdot g + f \cdot g' \] 함수가 아닌 양의 정수에 대해서도 위와 유사하게 곱의 미분법을 만족하는 연산자를 정의할 수 있는데, 이것이 앞으로 살펴 볼 산술 도함수이다. 산술 도함수(arithmetic derivative)의 정의와 기본 성질 임의의 양의 정수 $n$에 대하여, $n$의 산술 도함수(arithemetic derivative)를 다음과 같이 정의한다. 아래 정의에서 (2)는 산술 도함수가 일반적인 도함수의 곱의 미분법을 만족해야 함을 보여준다. 정의 1. 산술 도함수(arithemetic derivative) 산술 도함수 $(\cdot)' : \N \to ..
Algebra/Number Theory  |  2020. 7. 29. 14:34
무리수를 보존하는 이항연산(binary operation)
짝수와 짝수의 합은 언제나 짝수이고 짝수와 홀수의 합은 언제나 홀수이다. 이와 비슷하게, 유리수와 유리수의 합은 언제나 유리수이지만 유리수와 무리수의 합은 언제나 무리수가 된다. 따라서 '짝수와 유리수가 무언가 유사한 수학적 구조를 갖는 것은 아닐까' 하는 짐작을 해 볼 수 있다. 하지만 홀수와 홀수의 합은 언제나 짝수가 되는 반면, 다음과 같이 무리수와 무리수의 합은 유리수일 수도 무리수일 수도 있다. \[ \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \in \Q^c, \quad \sqrt{2} + (1-\sqrt{2}) = 2 \in \Q \] 이러한 근본적인 차이가 발생하게 되는 이유는 무엇일까? 또한 무리수와 무리수를 연산했을 때, 반드시 무리수가 나오는 연산이 존재할까? 이번 글에서..
Algebra/Abstract Algebra  |  2020. 4. 16. 17:18
피보나치(Fibonacci) 수열, 루카스(Lucas) 수열, 그리고 삼각함수 - 2
이번 글에서는 저번 글 피보나치(Fibonacci) 수열, 루카스(Lucas) 수열, 그리고 삼각함수 - 1 에서 증명한 피보나치/루카스 수열과 삼각함수와의 관계를 다시 한 번 정리하면 다음과 같다: 임의의 음이 아닌 정수 $n \in \N$에 대하여 복소수 $z_n = \frac{n\pi}{2} - i \ln(\phi^n)$을 정의하면 \[ \cos(z_n) = \frac{i^n}{2} L_n, \quad \sin(z_n) = \frac{i^n \sqrt{5}}{2i} F_n \] 의 관계가 성립한다. 이를 이용하여 삼각함수 항등식이 하나 주어졌을 때, 그에 해당되는 피보나치/루카스 수열에 대한 항등식을 증명할 수 있다. 여기서 $z_n$은 $n$에 대하여 선형(linear)이므로 $z_n = n z_..
Discrete Mathematics/Combinatorics  |  2020. 3. 16. 20:24
피보나치(Fibonacci) 수열, 루카스(Lucas) 수열, 그리고 삼각함수 - 1
피보나치 수열(Fibonacci sequence)은 $F_{0} = 0$, $F_{1} = 1$, $F_{n+2} = F_{n+1} + F_{n}$으로 정의된 대중적으로 가장 잘 알려진 수열 중 하나이다. 이 수열에 대한 성질에 대하여 몇 개의 글을 작성한 적이 있다. 피보나치 수열(Fibonacci sequence)과 그래프(graph) 피보나치 수열(Fibonacci sequence)과 역코탄젠트(arccotangent) 함수 피보나치 수(Fibonacci number) 판별법 한 편 루카스 수열(Lucas sequence)은 피보나치 수열과 초기값은 다르지만 동일한 점화관계(recurrence relation)을 갖는 수열로서, $L_{0} = 2$, $L_{1} = 1$, $L_{n+2} = L_..
Discrete Mathematics/Combinatorics  |  2020. 3. 16. 20:22
평균값 정리(mean value theorem)의 다양한 변형
평균값 정리(mean value theorem)는 두 점을 잇는 잘 정의된 곡선에 대하여, 이 곡선의 양 끝 점을 잇는 할선과 평행한 접선이 반드시 존재함을 알려 준다. 이 정리를 수학적으로 다시 적으면 다음과 같다. 정리. 라그랑주의 평균값 정리(Lagrange's mean value theorem) 적당한 두 실수 $a < b$에 대하여, 함수 $f$가 닫힌 구간 $[a,\, b]$에서 연속이고 열린 구간 $(a,\, b)$에서 미분가능하다고 하자. 그러면 \[ f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \] 를 만족하는 점 $c \in (a,\, b)$가 적어도 하나 존재한다. 평균값 정리는 보통 롤의 정리(Rolle's theorem)을 이용하여 증명한다. 롤의 정리 또한 평균값..
Analysis/Real Analysis  |  2020. 3. 6. 22:35
반추이적 주사위(nontransitive dice)
$1$부터 $6$까지의 숫자가 각 면에 적혀있는 일반적인 정육면체 모양 주사위 두 개 $A$와 $B$가 주어졌다고 하자. 이제 주사위 $A$가 주사위 $B$를 이길 확률, 질 확률, 비길 확률 (즉, 주사위 $A$와 $B$를 던졌을 때, $A$의 눈이 $B$의 눈보다 클 확률, 작을 확률, 같을 확률)을 각각 $P(A > B)$, $P(A B) = P(A < B) = \frac{15}{36}, \quad P(A = B) = \frac{6}{36} \] 임을 알 수 있다. 즉, 두 주사위 $A$와 $B$에 대하여, 한 주사위가 다른 주사위를 이길 확률은 각각 $\frac{15}{36}$으로 동일하다. 이와 같이 두 주사위 $A$..
Applied Mathematics/Probability & Statistics  |  2020. 2. 19. 13:10
특수한 형태의 무한급수와 벨수(Bell number), 감마함수(gamma function)와의 연관성
이전 글에서 특수한 형태의 무한급수 (다항함수를 지수함수 또는 계승함수로 나눈 꼴의 무한급수) 의 값을 계산하는 일반적인 방법에 대하여 알아보았다. 다항함수/지수함수 형태로 이루어진 무한급수의 값 다항함수/계승함수 형태로 이루어진 무한급수의 값 위 무한급수의 값을 조합론에서 등장하는 벨수(Bell number)와 푸비니수(Fubini number), 그리고 해석학에서의 감마함수(gamma function)와 연관지을 수 있는데 이를 하나씩 알아보도록 하자. 다항함수/계승함수 형태의 무한급수와 벨수(Bell number) 일반적으로 $d$차 다항함수 \[ p(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_d x^d \] 가 주어졌을 때, 무한급수의 선형성을 이용하면 \[ \sum_..
Discrete Mathematics/Combinatorics  |  2020. 1. 24. 12:39
다항함수/계승함수 형태로 이루어진 무한급수의 값
이전 글 다항함수/지수함수 형태로 이루어진 된 무한급수의 값 에서 다항함수를 지수함수로 나눈 형태의 무한급수의 값을 구하는 일반적인 방법에 대하여 생각해 보았다. 이번에는 다음과 같이 \[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^2}{n!}, \quad \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^3 - 1}{n!}, \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2 - 3}{(-1)^n (n+1)!},\, \ldots \] 다항함수를 계승함수로 나눈 형태의 무한급수의 값을 구하는 일반적인 방법에 대하여 알아볼 것이다. 다시 한번 $\Delta(k,\, n)$의 정의로 시작한다. 정의. 주어진 다항식 $p(x)$와 음이 아닌 자연수 $k \geq 0$에 대하여, $\Delt..
Others/High School Math  |  2020. 1. 11. 13:32

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