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집합 위에 정의된 이항관계(binary relation)
주어진 집합 $A$에 대하여 $A$ 위에서 정의된 이항관계(binary relation)이란, $A$의 원소들로 이루어진 순서쌍들의 모임이다. 즉, 곱집합 $A \times A$의 부분집합으로 이해할 수 있다. 이제부터 $R$을 집합 $A$ 위의 이항관계라 하자. 그러면 $R$의 원소 $(x,\,y)$를 보통 $x \, R \, y$, $R(x,\,y)$, 또는 간단히 $x \sim y$와 같이 나타낸다. $ $ 집합 $A$ 위의 이항관계 $R$에는 여러가지 유형이 있는데, 이 중 몇 가지 중요한 유형은 다음과 같다. 반사관계(reflexive relation): 모든 $x \in A$에 대하여, $x \sim x$. 대칭관계(symmetric relation): 모든 $x,\, y \in A$에 대하여..
Foundations/Set Theory  |  2018. 6. 7. 22:40
$\R^m$에서 $\R^n$으로의 전단사함수
이번 글의 목적은 $\R^m$에서 $\R^n$으로의 전단사함수(bijection)를 정의하는 것이다. 그러면 이 사실로부터 $\R^m$과 $\R^n$의 기수(cardinality)가 같음을 알 수 있다. [사실 이는 $\R \simeq 2^{\N}$이고 $\N \times \N \simeq \N$이라는 사실로부터 \[ \R^m \simeq (2^{\N})^m \simeq 2^{\N^m} \simeq 2^{\N} \simeq 2^{\N^n} \simeq (2^{\N})^n \simeq \R^n \] 와 같이 간단하게 유도할 수 있다.] 먼저 $f : \R^2 \to \R$이 $\R^2$에서 $\R$로의 전단사함수라 가정해보자. 그러면 $g(x,\, y,\, z) := f(f(x,\,y),\, z)$와 같이..
Foundations/Set Theory  |  2017. 3. 29. 04:05
바나흐-타르스키 역설 - 6. 마치며
언제나 그렇듯 처음에는 그냥 쉽고 간단하게 바나흐-타르스키 역설을 소개하는 정도로 글을 마무리 하려고 했는데, 쓰다보니 길어져서 글을 연속으로 여섯편이나 쓰게 되었다. 보통 수식이 많이 들어가는 글을 작성할 때에는 LaTeX로 글을 먼저 쓴 후에 나중에 티스토리에 문법 구조에 맞게끔 글을 수정해서 올리는데, LaTeX로 작성한 글도 거의 14페이지 가까이 된다. 이럴 시간에 내 논문을 좀 더 신경 썼어야 되는데, 뭐 그래도 이렇게 다양한 분야의 수학을 경험 하는 것이 언젠가는 내 커리어에 도움이 될 것이라 생각한다. 아래 파일은 LaTeX로 작성한 문서를 pdf로 변환한 파일이다. 파일 안에 블로그에 적은 모든 내용이 들어가 있다. 참고문헌 1. Youtube: The Banach–Tarski Parad..
Foundations/Set Theory  |  2016. 4. 1. 09:39
바나흐-타르스키 역설 - 5. 증명
$\mathcal{S}^2$ 위에서의 바나흐-타르스키 역설 이번에는 $\mathcal{S}^2-\mathcal{D}$에서 보였던 역설을 $\mathcal{S}^2$로 확장하는 작업을 해 보자. 이를 위해서는 집합 $\mathcal{D}$를 어떠한 방법을 통해서 무에서 생성해 내는 작업이 수반되어야 한다. 이 작업을 위해서는 우선 집합 $\mathcal{D}$와 만나지 않는 원점을 지나는 직선 $l$이 필요하다. 이 때, $\mathcal{D}$는 가산집합(countable set)이고, 원점을 지나는 직선의 개수는 비가산(uncountable)이므로 위 조건을 만족하는 (즉, $\mathcal{D}$와 만나지 않는) 직선 $l$을 반드시 찾을 수 있다. 이제 회전 $l_\theta \in SO_3$를 직..
Foundations/Set Theory  |  2016. 4. 1. 08:13
바나흐-타르스키 역설 - 4. 하우스도르프 역설
하우스도르프 역설(Hausdorff Paradox) 이제 바나흐-타르스키 역설의 약한 버전인 하우스도르프 역설(Hausdorff paradox)를 증명할 준비가 다 되었다. 이제 집합 $\mathcal{S}_2$ 위의 원소 $p$에 대하여 $p$에 대한 $\mathfrak{F}(\varphi,\, \psi)$-궤도(orbit)를 아래와 같이 정의하자.\[ \set{\rho(p)}{\rho \in \mathfrak{F}(\varphi,\,\psi)}. \]따라서 $p$에 대한 $\mathfrak{F}(\varphi,\, \psi)$-궤도란 점 $p$를 $\mathfrak{F}(\varphi,\, \psi)$의 원소들로 회전하여 얻을 수 있는 모든 점들의 집합을 뜻한다. 그러면 이 집합은 정리 2.1에 의하..
Foundations/Set Theory  |  2016. 4. 1. 05:50
바나흐-타르스키 역설 - 3. $SO_3$ 위에서의 자유군
군 $SO_3$ 위에서의 자유군 $\mathfrak{F}(\varphi,\, \psi)$ 이번에는 바나흐-타르스키 역설을 증명하기 위한 마지막 재료를 살펴보려고 한다. 먼저 3차원상의 구면 $\mathcal{S}^2$를 생각하자\[ \mathcal{S}^2 := \set{(x,\,y,\,z) \in \R^3}{x^2 + y^2 + z^2 = 1}. \]이제 $^2$ 위에서의 모든 회전운동을 모아놓은 집합 $SO_3$를 생각해 보자. 그러면 이 집합의 원소는 행렬식(determinant)이 $1$인 $3 \times 3$ 직교행렬(orthogonal matrix)이 되고, 또한 군(group)을 이룬다는 사실이 알려져 있다. 즉,\[ SO_3 := \set{A \in \R^{3 \times 3}}{A^{\..
Foundations/Set Theory  |  2016. 3. 30. 13:36
바나흐-타르스키 역설 - 2. 자유군
$\mathfrak{F}(x,\,y)$를 생성원(generator) $x$, $y$에 의해 생성된 자유군(free group)이라 하자. 자유군 $\mathfrak{F}(x,\,y)$은 아래의 조건을 만족하는 문자 $x$, $y$, $x'$, $y'$의 나열들로 구성되어 있다.\[ xx' = x'x = yy' = y'y = e. \]이 때, $e$는 $\mathfrak{F}(x,\,y)$의 항등원(unit element)이다. 또한 이 자유군의 연산은 단순히 두 원소의 나열로 정의하자. 예를 들어 $\mathfrak{u} = yyx'yx$ 이고 $\mathfrak{v} = x'yxy$라 하면, $\mathfrak{u} \cdot \mathfrak{v}$는 아래와 같이 계산한다. \[ \mathfrak{u..
Foundations/Set Theory  |  2016. 3. 30. 11:50
바나흐-타르스키 역설 - 1. 소개
무한대(infinity)와 무한집합(infinite set)수학에서 무한대(infinity)의 개념을 처음 접하면 우리의 기존 상식이 깨지는 경우가 빈번히 발생한다. 예를 들어 임의의 실수 $x \in \R$을 생각해 보자. 그러면 $x+1$은 언제나 원래의 수 $x$보다 크다. 즉, $x < x+1$이 성립한다. 하지만 $x = \infty$라 하면 이야기가 달라진다. 우선 $\infty+1$는 무한대에 $1$을 더해준 것과 같으므로 역시 무한대일 것임은 짐작할 수 있다. 하지만, $\infty$와 $\infty+1$의 크기를 비교해 보면 어떻게 될까? 무한대의 대소비교에서는 더이상 위와 같은 부등식이 성립하지 않고, $\infty = \infty+1$이 되는데, 이를 다시 말하면 무한대에 $1$을 더..
Foundations/Set Theory  |  2016. 3. 30. 11:48

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