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집합 위에 정의된 이항관계(binary relation)
주어진 집합 A에 대하여 A 위에서 정의된 이항관계(binary relation)이란, A의 원소들로 이루어진 순서쌍들의 모임이다. 즉, 곱집합 A×A의 부분집합으로 이해할 수 있다. 이제부터 R을 집합 A 위의 이항관계라 하자. 그러면 R의 원소 (x,y)를 보통 xRy, R(x,y), 또는 간단히 x∼y와 같이 나타낸다. 집합 A 위의 이항관계 R에는 여러가지 유형이 있는데, 이 중 몇 가지 중요한 유형은 다음과 같다. 반사관계(reflexive relation): 모든 x∈A에 대하여, x∼x. 대칭관계(symmetric relation): 모든 x,y∈A에 대하여..
Foundations/Set Theory  |  2018. 6. 7. 22:40
Rm에서 Rn으로의 전단사함수
이번 글의 목적은 Rm에서 Rn으로의 전단사함수(bijection)를 정의하는 것이다. 그러면 이 사실로부터 Rm과 Rn의 기수(cardinality)가 같음을 알 수 있다. [사실 이는 R≃2N이고 N×N≃N이라는 사실로부터 Rm≃(2N)m≃2Nm≃2N≃2Nn≃(2N)n≃Rn 와 같이 간단하게 유도할 수 있다.] 먼저 f:R2→R이 R2에서 R로의 전단사함수라 가정해보자. 그러면 g(x,y,z):=f(f(x,y),z)와 같이..
Foundations/Set Theory  |  2017. 3. 29. 04:05
바나흐-타르스키 역설 - 6. 마치며
언제나 그렇듯 처음에는 그냥 쉽고 간단하게 바나흐-타르스키 역설을 소개하는 정도로 글을 마무리 하려고 했는데, 쓰다보니 길어져서 글을 연속으로 여섯편이나 쓰게 되었다. 보통 수식이 많이 들어가는 글을 작성할 때에는 LaTeX로 글을 먼저 쓴 후에 나중에 티스토리에 문법 구조에 맞게끔 글을 수정해서 올리는데, LaTeX로 작성한 글도 거의 14페이지 가까이 된다. 이럴 시간에 내 논문을 좀 더 신경 썼어야 되는데, 뭐 그래도 이렇게 다양한 분야의 수학을 경험 하는 것이 언젠가는 내 커리어에 도움이 될 것이라 생각한다. 아래 파일은 LaTeX로 작성한 문서를 pdf로 변환한 파일이다. 파일 안에 블로그에 적은 모든 내용이 들어가 있다. 참고문헌 1. Youtube: The Banach–Tarski Parad..
Foundations/Set Theory  |  2016. 4. 1. 09:39
바나흐-타르스키 역설 - 5. 증명
S2 위에서의 바나흐-타르스키 역설 이번에는 S2−D에서 보였던 역설을 S2로 확장하는 작업을 해 보자. 이를 위해서는 집합 D를 어떠한 방법을 통해서 무에서 생성해 내는 작업이 수반되어야 한다. 이 작업을 위해서는 우선 집합 D와 만나지 않는 원점을 지나는 직선 l이 필요하다. 이 때, D는 가산집합(countable set)이고, 원점을 지나는 직선의 개수는 비가산(uncountable)이므로 위 조건을 만족하는 (즉, D와 만나지 않는) 직선 l을 반드시 찾을 수 있다. 이제 회전 lθ∈SO3를 직..
Foundations/Set Theory  |  2016. 4. 1. 08:13
바나흐-타르스키 역설 - 4. 하우스도르프 역설
하우스도르프 역설(Hausdorff Paradox) 이제 바나흐-타르스키 역설의 약한 버전인 하우스도르프 역설(Hausdorff paradox)를 증명할 준비가 다 되었다. 이제 집합 S2 위의 원소 p에 대하여 p에 대한 F(φ,ψ)-궤도(orbit)를 아래와 같이 정의하자.{ρ(p) | ρ∈F(φ,ψ)}.따라서 p에 대한 F(φ,ψ)-궤도란 점 p를 F(φ,ψ)의 원소들로 회전하여 얻을 수 있는 모든 점들의 집합을 뜻한다. 그러면 이 집합은 정리 2.1에 의하..
Foundations/Set Theory  |  2016. 4. 1. 05:50
바나흐-타르스키 역설 - 3. SO3 위에서의 자유군
군 SO3 위에서의 자유군 F(φ,ψ) 이번에는 바나흐-타르스키 역설을 증명하기 위한 마지막 재료를 살펴보려고 한다. 먼저 3차원상의 구면 S2를 생각하자S2:={(x,y,z)∈R3 | x2+y2+z2=1}.이제 2 위에서의 모든 회전운동을 모아놓은 집합 SO3를 생각해 보자. 그러면 이 집합의 원소는 행렬식(determinant)이 1인 3×3 직교행렬(orthogonal matrix)이 되고, 또한 군(group)을 이룬다는 사실이 알려져 있다. 즉,\[ SO_3 := \set{A \in \R^{3 \times 3}}{A^{\..
Foundations/Set Theory  |  2016. 3. 30. 13:36
바나흐-타르스키 역설 - 2. 자유군
F(x,y)를 생성원(generator) x, y에 의해 생성된 자유군(free group)이라 하자. 자유군 F(x,y)은 아래의 조건을 만족하는 문자 x, y, x′, y′의 나열들로 구성되어 있다.xx′=x′x=yy′=y′y=e.이 때, e는 F(x,y)의 항등원(unit element)이다. 또한 이 자유군의 연산은 단순히 두 원소의 나열로 정의하자. 예를 들어 u=yyx′yx 이고 v=x′yxy라 하면, u⋅v는 아래와 같이 계산한다. \[ \mathfrak{u..
Foundations/Set Theory  |  2016. 3. 30. 11:50
바나흐-타르스키 역설 - 1. 소개
무한대(infinity)와 무한집합(infinite set)수학에서 무한대(infinity)의 개념을 처음 접하면 우리의 기존 상식이 깨지는 경우가 빈번히 발생한다. 예를 들어 임의의 실수 x∈R을 생각해 보자. 그러면 x+1은 언제나 원래의 수 x보다 크다. 즉, x<x+1이 성립한다. 하지만 x=∞라 하면 이야기가 달라진다. 우선 ∞+1는 무한대에 1을 더해준 것과 같으므로 역시 무한대일 것임은 짐작할 수 있다. 하지만, ∞와 ∞+1의 크기를 비교해 보면 어떻게 될까? 무한대의 대소비교에서는 더이상 위와 같은 부등식이 성립하지 않고, ∞=∞+1이 되는데, 이를 다시 말하면 무한대에 1을 더..
Foundations/Set Theory  |  2016. 3. 30. 11:48

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