jjycjn's Math Storehouse

Problem #046다음 등식을 증명하여라.\[ \sum_{k=1}^{n} \sin(kx) = \frac{\cos(\frac{x}{2}) - \cos((n+\frac{1}{2})x)}{2 \sin(\frac{x}{2})} \] 풀이 1. 삼각함수의 곱을 합차로 바꾸는 공식에 의해서\[ \begin{align*} \sum_{k=1}^{n} 2 \sin(kx) \sin(\tfrac{x}{2}) &= \sum_{k=1}^{n} \left\{ \cos((k - \tfrac{1}{2})x) - \cos((k + \tfrac{1}{2})x) \right\} \\[5px] &= \cos(\tfrac{x}{2}) - \cos((n+\tfrac{1}{2})x) \end{align*} \]따라서 식위 식의 양변에 $2 ..

Problem #017 반지름이 $1$인 원 위에 같은 간격으로 $n \geq 2$개의 점 $p_0,\, p_1,\, \ldots,\, p_{n-1}$이 찍혀 있다고 하자. 또한 점 $p_0$와 $p_k$, ($k=1,\, 2,\, \ldots,\, n-1$)를 잇는 현(chord)을 각각 $d_k$로 나타내자. 이 때, 이 현들의 길이의 곱은 언제나 $n$이 됨을 증명하여라. 아래의 그림은 $n=7$인 경우를 나타낸다. 복소좌표 위에 원점을 원의 중심으로 하는 단위원을 그리면, 점 $p_k$의 좌표는 극좌표를 이용하여 아래와 같이 나타낼 수 있다. \[ p_k = \left( \cos\left( \tfrac{2k\pi}{n} \right),\, \sin\left( \tfrac{2k\pi}{n} \rig..

\( x^{2} + 1 = 0 \)이라는 방정식을 살펴보자. 이 방정식을 풀기 위하여 우리는 제곱하여 \(-1\)이 되는 수, 즉 \(x^{2} = -1\)을 만족하는 \(x\)의 값을 찾아내야 한다. 하지만 실수의 제곱은 음수가 나올 수 없으므로, 주어진 방정식은 실수 범위 내에서 해를 구할 수 없다. 따라서 이 방정식을 풀기 하여, 수 체계를 확장해야 할 필요성을 느끼는데, 다시말해 제곱해서 음수가 나올 수도 있는 수 체계로의 확장이 필요할 것 같다. 만일 제곱해서 \(-1\)이 되는 수, 즉 \(\sqrt{-1}\)의 존재를 인정한다면, 위의 방정식의 해는 \(+\sqrt{-1}\) 또는 \(-\sqrt{-1}\)이 된다. 또한 \(x^{2} - 2x + 5\) 같은 방정식의 경우도 실수 범위에서는..