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구데르만 함수(Gudermannian function)에 대하여
삼각함수(trigonometric function)와 쌍곡함수(hyperbolic function)는 서로 밀접한 관계가 있는데, 이는 복소수를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다. \[ \begin{align*} \sin(iz) &= i\sinh(z) & \sinh(iz) &= i\sin(z) \\[5px] \cos(iz) &= \cosh(z) & \cosh(iz) &= \cos(z) \\[5px] \tan(iz) &= i\tanh(z) & \tanh(iz) &= i\tan(z) \\[5px] \cot(iz) &= -i\coth(z) & \coth(iz) &= -i\cot(z) \\[5px] \sec(iz) &= \sech(z) & \sech(iz) &= \sec(z) \\[5px] \csc(iz) ..
Analysis/Calculus  |  2018. 8. 23. 23:31
두 무한급수의 합
다음과 같이 두 무한급수를 정의하자. \[ \begin{align*} S_{1} &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots \\[5px] S_{2} &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{2^n} = 0 + \frac{1}{2} + \frac{2}{4} + \frac{3}{8} + \frac{4}{16} + \cdots \end{align*} \] 위 두 급수의 값 중 어느 것이 더 큰지 비교해 보자. 우선 $n \neq 0$일 때, $S_{2}$의 $n$번째 항이 $S_{1}$의 $n$번째 항보다 더 크므로 $S_{1} < S_{2}$일 ..
Analysis/Calculus  |  2018. 6. 7. 22:38
Problems and Solutions #047
Problem #047다음 극한을 구하여라. \[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[3]{8^n + 4^n + 2^n} - 2^n \] 주어진 극한값을 $L$이가 하자. 이제 $x = 2^n$으로 치환을 하면 주어진 극한은 다음 극한과 같다. \[ L = \lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{x^3 + x^2 + x} - x \] 이제 이항정리에 따르면 $a \to 0$일 때, $(1+a)^n \approx 1 + na$이므로 \[ \begin{align*} L &= \lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{x^3 + x^2 + x} - x \\[5px] &= \lim_{x \to \infty} x \left( \sqrt[3]{1 + \frac{1}{x} + \fra..
Analysis/Calculus  |  2018. 3. 5. 03:14
Problems and Solutions #044
Problem #044다음 적분 값을 구하여라.\[ \int_{0}^{\infty} \frac{\ln(1+x^{5}) - \ln(1+x^{3})}{(1+x^{2}) \ln(x)} \,dx \] 구간 $(0,\, \infty)$에서 적분 가능한 함수 $f$에 대하여 다음 식이 성립한다.\[ \int_{0}^{\infty} f(x) \,dx = \int_{0}^{\infty} \frac{f(\frac{1}{x})}{x^2} \,dx \]위 등식은 좌변의 적분에 $x = \frac{1}{u}$로 치환적분을 하면 간단히 성립함을 보일 수 있다. 이제 함수 $f$를 위 문제에 주어진 피적분 함수로 정의하면,\[ \begin{align*} \frac{f(\frac{1}{x})}{x^2} &= \frac{\ln(1+..
Analysis/Calculus  |  2018. 2. 23. 04:39
감마함수(gamma function)의 유일성(uniqueness)
지난 글에서 다음과 같이 정의된 감마함수(gamma function) \[ \Gamma(z) := \int_{0}^{\infty} t^{z-1}e^{-t} \,dt, \qquad (\operatorname{Re}(z) > 0) \] 가 계승(factorial) 함수의 확장임을 보였다. 하지만 계승 함수는 자연수에서만 정의된 함수이므로 이를 실수로 확장하는 연속함수는 무한히 많이 존재한다. 그렇다면 왜 하필 다른 함수가 아닌 감마함수를 계승함수의 자연스러운 확장으로 여기는 걸까? 우선 감마함수가 가지는 몇 가지 유용한 사실들을 살펴보자. 먼저 감마함수는 (1) $f(1) = 1$이 성립하고, (2) 모든 $x > 0$에 대하여 $f(x+1) = x f(x)$가 성립한다. 또한 감마함수가 가지는 중요한 사실..
Analysis/Calculus  |  2018. 2. 10. 06:42
$n$차원 초구(hyperball)의 초부피(hypervolume)
이번 글에서는 반지름이 $r$인 $n$차원 초구(hyperball)의 초부피(hypervolume)를 계산할 것이다. 논의를 간단히 하기 위하여 $V_n(r)$을 반지름이 $r$인 $n$차원 초구의 초부피로 정의하자. 먼저 $n=1$인 경우, 반지름이 $r$인 초구(선분)는 구간 $(-r,\, r)$과 같으므로 초부피(길이)는 $2r$이 된다. 또한 $n=2$인 경우, 반지름이 $r$인 초구(원)의 초부피(넓이)는 적분을 이용하여 다음과 같이 구할 수 있다. (아래 적분은 $x=r\sin(\theta)$로 치환적분을 하면 간단히 구할 수 있다.) \[ \int_{-r}^{r} V_1\left( \!\! \sqrt{r^2 - x^2} \right) \, dx = \int_{-r}^{r} 2\sqrt{r^2..
Analysis/Calculus  |  2018. 2. 2. 07:50
감마함수(gamma function)와 베타함수(beta function)
감마함수(gamma function)와 계승(factorial)감마함수(gamma function)는 계승(factorial)을 일반화 한 형태의 함수로써, 다음과 같이 적분 형태로 정의된다. \[ \Gamma(z) := \int_{0}^{\infty} t^{z-1}e^{-t} \,dt, \qquad (\operatorname{Re}(z) > 0) \] 두 복소수 $z$와 $z+1$에 대한 감마함수의 값을 비교하면, 아래와 같이 매우 밀접한 관계를 가지고 있음을 쉽게 확인할 수 있다. 정리 1 $\operatorname{z} > 0$를 만족하는 임의의 복소수 $z$에 대하여 $\Gamma(z+1) = z \Gamma(z)$가 성립한다. 증명. 부분적분을 이용하면 간단히 증명할 수 있다. \[ \begin..
Analysis/Calculus  |  2018. 1. 19. 11:16
Problems and Solutions #042
Problem #042 다음 부정적분을 계산하여라. \[ \int \frac{1}{\sqrt{x} \sqrt{1+\sqrt{x}}\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{x}}}} dx \] 풀이 1. $t = \sqrt{1 + \sqrt{x}}$로 치환적분을 이용하자. 이 치환식을 정리하면 $x = (t^2 -1)^2$를 얻고, 이로부터 $dx = 4t(t^2-1)dt$를 얻는다. 따라서 주어진 적분을 변수 $t$에 대한 적분으로 바꾸어 주면,\[ \begin{align*} \int \frac{dx}{ \sqrt{x}\sqrt{1+\sqrt{x}}\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{x}}}} &= \int \frac{4t(t^2-1)dt}{(t^2 -1) \cdot t \cdot \sqrt{1+t} ..
Analysis/Calculus  |  2017. 12. 19. 01:08
Problems and Solutions #041
Problem #041적분값이 $\displaystyle \int_{0}^{\infty} h(t) \,dt = 1$인 함수 $h$에 대하여 다음 적분값을 계산하여라.\[ \iint_{\R^2} h(2x^2 - 6xy + 5y^2) \,dxdy \] $2x^2 - 6xy + 5y^2 = (x-y)^2 + (x-2y)^2$와 같이 정리되므로 다음과 같이 치환을 하자.\[ u = x-y, \;\; v = x-2y \quad \Longleftrightarrow \quad x = 2u-v, \;\; y = u-v \]위 치환에 대한 야코비안(Jacobian)은 \[ \abs{\frac{\partial (x,\,y)}{\partial(u,\, v)}} = \abs{\det \left( \begin{array}{rr..
Analysis/Calculus  |  2017. 12. 16. 03:39
Problems and Solutions # 040
Problem #40 다음 극한을 구하여라. \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n} \] 풀이1. 주어진 극한을 $L$이라 하자. \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n!}{n^n} \right)^{\frac{1}{n}} \]이제 양변에 자연로그를 씌우면 정적분의 정의에 의해서 \[ \ln L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \ln \left( \frac{n!}{n^n} \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln \left( \frac{k}{n} \rig..
Analysis/Calculus  |  2017. 11. 22. 00:47

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