다음 극한을 구하여라.
풀이1. 주어진 극한을 $L$이라 하자.
\[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n!}{n^n} \right)^{\frac{1}{n}} \]
이제 양변에 자연로그를 씌우면 정적분의 정의에 의해서
\[ \ln L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \ln \left( \frac{n!}{n^n} \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln \left( \frac{k}{n} \right) = \int_{0}^{1} \ln(x) \,dx = -1\]
따라서 $L = \frac{1}{e}$임을 알 수 있다.
풀이2. 스털링 근사(Stirling's approximation)에 의해서
\[ n! \sim \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n \]
임이 알려져 있다. 따라서
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{\sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n }}{n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[2n]{2 \pi n} \frac{1}{e}\ = \frac{1}{e} \]
풀이3. 임의의 수열 $(a_n)$에 대하여
\[ \liminf_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} \leq \liminf_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} \leq \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} \leq \limsup_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} \]
이 성립한다. 이제 $a_n = \frac{n!}{n^n}$이라 하면,
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n!} = \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{-n} \]
임을 알 수 있고, 따라서
\[ \liminf_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \limsup_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{e} \]
를 얻는다. 그러므로 조임정리(squeeze theorem)에 의해
\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \frac{1}{e} \]
풀이4. 임의의 양의 실수열 $(a_n)$에 대하여 $\lim_{n \to \infty} a_n = L$이면
\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n} = L \]
임이 알려져 있다. (슈톨츠-체사로 정리(Stolz-Cesaro theorem)의 따름정리) 이제 $a_n = (\frac{n+1}{n})^n$으로 정의하면, $\lim_{n \to \infty} a_n = e$이므로
\[ \begin{align*} e &=\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n} \\[5px] &= \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left( \frac{2}{1} \right)^1 \left(\frac{3}{2} \right)^2 \cdots \left( \frac{n+1}{n} \right)^n} \\[5px] &= \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{(n+1)^n}{n!}} \\[5px] &= \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{\sqrt[n]{n!}} \\[5px] &= \lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}} + \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n!}} \\[5px] &= \lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}} \end{align*} \]
따라서 주어진 극한은 $\frac{1}{e}$임을 알 수 있다.
