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Problems and Solutions #046
Problem #046다음 등식을 증명하여라.\[ \sum_{k=1}^{n} \sin(kx) = \frac{\cos(\frac{x}{2}) - \cos((n+\frac{1}{2})x)}{2 \sin(\frac{x}{2})} \] 풀이 1. 삼각함수의 곱을 합차로 바꾸는 공식에 의해서\[ \begin{align*} \sum_{k=1}^{n} 2 \sin(kx) \sin(\tfrac{x}{2}) &= \sum_{k=1}^{n} \left\{ \cos((k - \tfrac{1}{2})x) - \cos((k + \tfrac{1}{2})x) \right\} \\[5px] &= \cos(\tfrac{x}{2}) - \cos((n+\tfrac{1}{2})x) \end{align*} \]따라서 식위 식의 양변에 $2 ..
Analysis/Complex Analysis  |  2018. 2. 28. 06:25
Problems and Solution #045
Problem #045 다음 방정식을 만족하는 $x$의 값을 구하여라. \[ \left( 1 - \frac{1}{x} \right)^{x-1} = \left( 1 - \frac{1}{2018} \right)^{2018} \] 위 방정식의 좌변에 $x=1-y$로 치환을 하면, \[ \begin{align*} \left( 1 - \frac{1}{x} \right)^{x-1} &= \left( 1 - \frac{1}{1-y} \right)^{-y} = \left( \frac{-y}{1-y} \right)^{-y} \\[5px] &= \left( \frac{y}{y-1} \right)^{-y} = \left( \frac{y-1}{y} \right)^{y} = \left( 1 - \frac{1}{y} \right..
Others/Middle School Math  |  2018. 2. 23. 04:52
Problems and Solutions #043
Problem #043다음 극한의 수렴 여부를 판단하고, 수렴한다면 극한값을 구하여라. \[ \lim_{n \to \infty} e^{-n} \sum_{k=0}^{n} \frac{n^k}{k!} \] 증명. 포아송 분포(Poisson distribution)의 정의에 의하면, 단위 시간 안에 어떤 사건이 일어날 기댓값을 $\lambda$라 했을 때, 그 사건이 $n$번 일어날 확률은 \[ \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \] 로 주어지며, 기댓값이 $\lambda$인 포아송 분포 $X$를 $X \sim \operatorname{Poisson}(\lambda)$와 같이 나타낸다. 이제 포아송 분포 $X_n \sim \operatorname{Poisson}(n)$에 대하여, 어떠..
Applied Mathematics/Probability & Statistics  |  2017. 12. 31. 09:57
Problems and Solutions #042
Problem #042 다음 부정적분을 계산하여라. \[ \int \frac{1}{\sqrt{x} \sqrt{1+\sqrt{x}}\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{x}}}} dx \] 풀이 1. $t = \sqrt{1 + \sqrt{x}}$로 치환적분을 이용하자. 이 치환식을 정리하면 $x = (t^2 -1)^2$를 얻고, 이로부터 $dx = 4t(t^2-1)dt$를 얻는다. 따라서 주어진 적분을 변수 $t$에 대한 적분으로 바꾸어 주면,\[ \begin{align*} \int \frac{dx}{ \sqrt{x}\sqrt{1+\sqrt{x}}\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{x}}}} &= \int \frac{4t(t^2-1)dt}{(t^2 -1) \cdot t \cdot \sqrt{1+t} ..
Analysis/Calculus  |  2017. 12. 19. 01:08
Problems and Solutions # 040
Problem #40 다음 극한을 구하여라. \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n} \] 풀이1. 주어진 극한을 $L$이라 하자. \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n!}{n^n} \right)^{\frac{1}{n}} \]이제 양변에 자연로그를 씌우면 정적분의 정의에 의해서 \[ \ln L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \ln \left( \frac{n!}{n^n} \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln \left( \frac{k}{n} \rig..
Analysis/Calculus  |  2017. 11. 22. 00:47
Problems and Solutions #038
Problem #038$3$차 정사각행렬 $A$, $B$가 $A^2 = AB + BA$를 만족할 때, $\det(AB - BA) = 0$임을 보여라. $A^2 = AB + BA$이므로 $AB = A^2 - BA$, $BA = A^2 - AB$가 성립한다. 따라서\[ \begin{align*} \det(AB - BA) &= \det(A^2 - 2BA) = \det((A - 2B)A) \\[5px] &= \det(A - 2B) \det(A) = \det(A) \det(A - 2B) \\[5px] &= \det(A(A - 2B)) = \det(A^2 - 2AB) \\[5px] &= \det(BA - AB) = \det(-(AB - BA)) \\[5px] &= (-1)^3 \det(AB - BA) = -\det..
Algebra/Matrix Algebra  |  2017. 10. 13. 01:13
Problems and Solutions #035
Problem #035사차방정식 $x^4 - 3x + 2 = 0$의 네 근을 각각 $a$, $b$, $c$, $d$라 하자. 이 때, $a^3 + b^3 + c^3 + d^3$의 값을 구하여라. 풀이1. 사차방정식의 근과 계수와의 관계에 의해 \[ a + b + c + d = 0, \quad abc + abd + acd + bcd = 3 \] 임을 알 수 있다. 따라서 \begin{align*} 0 &= (a + b + c + d)^3 \\[5px] &= a^3 + b^3 + c^3 + d^3 \\ & \qquad\; + 3a^2(b + c + d) + 3b^2(a + c + d) + 3c^2(a + b + d) + 3d^2(a + b + c) \\ & \qquad\; + 6(abc + abd + acd..
Others/High School Math  |  2017. 8. 16. 01:20
Problems and Solutions #034
Problem #034 임의의 실수 $\theta_k \in \R$와 양의 정수 $n \in \N$에 대하여 다음을 증명하여라. \[ \prod_{k=1}^{n} \cos^2 \theta_k - \sum_{k=1}^{n} \cos^2 \theta_k \geq 1 - n \] 풀이1. 우선 $a_k = \cos^2 \theta_k$라 하자. 그러면 모든 $1 \leq k \leq n$에 대하여 $0 \leq a_k \leq 1$이 성립한다. 주어진 부등식은 아래 부등식과 동치이다.\[ \prod_{k=1}^{n} a_k \geq \sum_{k=1}^{n} a_k + 1 - n \]이제 위 부등식을 수학적 귀납법을 이용하여 증명해 보자. 먼저 $n=1$인 경우 부등식이 성립한다. 또한\begin{align*..
Others/Olympiad  |  2017. 8. 8. 07:34
Problems and Solutions #030
Problem #030 $1$부터 $6$까지의 숫자를 한번씩 사용하여 만든 여섯자리 수는 $11$의 배수가 될 수 없음을 보여라. 여섯자리의 수를 편의상 $a_1a_2a_3a_4a_5a_6$으로 나타내기로 하자. 그러면 문제의 조건에 의하여\[ a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = 21 \tag{1} \]임을 알 수 있다. 또한 이 수가 $11$의 배수여야 하므로, $11$의 배수 판정법에 의하여\[ - a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - a_5 + a_6 \equiv 0 \pmod{11} \tag{2}\]을 만족해야 한다. 하지만 $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$, $a_5$, $a_6$는 $1$부터 $6$까지의 숫자들 중 하나이므로\[ -9 \leq -..
Algebra/Number Theory  |  2017. 6. 15. 10:54
Problems and Solutions #029
Problem #029 $n^4 + n^3 + n^2 + n + 1$이 완전제곱수가 되게 하는 모든 정수 $n$을 구하여라. 식을 간단히 하기 위하여, $f(n) := n^4 + n^3 + n^2 + n + 1$로 정의하자. 또한 \begin{align*} a(n) &:= (2n^2 + n)^2 = 4n^2 + 4n^3 + n^2, \\ b(n) &:= (2n^2 + n + 1)^2 = 4n^4 + 4n^3 + 5n^2 + 2n + 1 \end{align*} 로 각각 정의하면, 간단한 계산을 통해 \[ 4f(n) - a(n) = 3n^2 + 4n + 4 = 2n^2 + (n+2)^2 > 0 \] 를 얻는다. 또한 $-1 < n < 3$인 경우, \[ b(n) - 4f(n) = n^2 - 2n - 3 = ..
Others/Olympiad  |  2017. 6. 7. 21:51

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