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유리수를 나열하는 다른 방법 - Calkin-Wilf 나무 그래프(tree graph)
유리수의 집합 $\Q$가 셀수 있는 집합임을 잘 알려져 있다. 이를 다시 표현하면 "모든 유리수를 단 한번씩 포함하는 수열"을 구성하는 것이 가능하다는 말이 된다. 이러한 수열을 구성하는 가장 간단한 방법은 아래와 같다. 즉, 모든 양의 정수 $i,\, j$에 대하여 $(i,\,j)$-원소가 $\frac{i}{j}$인 무한행렬을 만들고 이 행렬의 원소를 왼쪽 위에서부터 화살표가 나타내는 대각선 방향으로 읽어 내려가는 것이다. 그렇게 하면 \[ \frac{1}{1},\, \frac{1}{2},\, \frac{2}{1},\, \frac{1}{3},\, \textcolor{red}{\frac{2}{2}},\, \frac{3}{1},\, \frac{1}{4},\, \frac{2}{3},\, \frac{3}{2}..
Others/Articles  |  2019. 3. 28. 09:12
세 대칭수(palindromic number)의 합
다음의 계산을 보자. \[ \begin{matrix} & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ + & & 9 & 9 & 8 & 8 & 1 & 1 & 8 & 8 & 9 & 9 \\ + & & & 4 & 2 & 6 & 7 & 9 & 7 & 6 & 2 & 4 \\ \hline & 3 & 1 & 4 & 1 & 5 & 9 & 2 & 6 & 5 & 3 & 5 \end{matrix} \] 위 계산에서 볼 수 있듯이 원주율 $\pi$의 소숫점 아래 열번째 자리까지 나열한 수를 세개의 대칭수(palindromic number)의 합으로 표현한 것을 알 수 있다. 여기서 대칭수란 앞에서부터 순서대로 읽은 수와 뒤에서부터 거꾸로 읽은 수가 일치하는 수를 말한다. 한편, 자연상수 $..
Others/Articles  |  2018. 12. 14. 10:26
대칭수(palindromic number)와 $196$
대칭수(panlindromic number)란, 주어진 숫자를 순서대로 읽은 것과 거꾸로 읽은 것이 일치하는 수를 말한다. 예를 들어 $11$, $252$, $3773$과 같은 수들은 모두 대칭수이다. 숫자를 아무거나 선택하라. 대칭수와 관련해서 1984년 4월 컴퓨터 학자 그루엔버거(F. Gruenberger)는 다음과 같은 알고리즘을 제시하였다. 임의의 양의 정수를 택한다. 그 수를 거꾸로 뒤집어 원래의 수와 합한다. 두 수를 더한 결과가 대칭수가 아니라면, 2번 과정을 다시 되풀이하고, 대칭수라면 알고리즘을 종료한다. 위 알고리즘을 임의의 두자리 양의 정수에 대해서 적용해 보면, 전부 결국에는 대칭수가 됨을 어렵지 않게 확인할 수 있다. 몇 개의 두자리 양의 정수에 대해서 예를 들어 보면 다음과 같..
Others/Articles  |  2018. 4. 29. 10:53
자연상수를 근사하는 유사 완전 온자리 수(pseudo perfect pandigital formula)
온자리 수(pandigital number)란 $0$ 부터 $9$ 까지의 모든 숫자를 적어도 한번씩 사용하여 만든 $10$자리 이상의 정수를 말한다. 특히 $0$부터 $9$ 까지의 모든 숫자를 단 한번씩만 사용하여 만든 $10$자리 정수를 완전 온자리 수(perfect pandigital number)라 한다. 예를 들어 가장 작은 $10$자리 완전 온자리 수와 가장 큰 $10$자리 완전 온자리 수는 각각\[ 1023456789, \quad 9876543210 \]가 된다. 완전 온자리 수에 대한 잘 알려진 퍼즐이 하나 있는데 이곳에서 관련 퍼즐에 대한 설명을 확인할 수 있다. 하지만 완전 온자리 수의 갯수는 매우 제한적이므로, $0$ 부터 $9$ 까지의 숫자와 수학 연산 기호를 이용하여 만들 수 있는 ..
Others/Articles  |  2018. 1. 1. 05:37
2017에 대한 신기한 사실들
좀 늦은감이 있지만 올해는 $2011$년 이후 $6$년만에 찾아온 소수의 해이다. 역시나 구글링을 조금 해 보니 소수의 해를 맞이하여 $2017$에 대한 여러가지 신기한 사실들을 정리해 놓은 글을 발견할 수 있었다. 이 글의 원 출처는 여기에서 확인할 수 있다. 아래의 글은 원 출처의 글을 번역하고 거기에 약간의 주석을 덧붙힌 것이다. 또한 원 출처에 있던 사실 이외에 몇 가지 사실을 더 추가하였다. $2017$에 대한 신기한 사실들 $2017$은 소수이다. $\lfloor 2017\pi \rfloor = 6337$은 소수이다. $\lfloor 2017e \rfloor = 5483$는 소수이다. $2017$보다 작거나 같은 모든 홀수 소수들을 더하면 이 수는 소수이다. 즉, \[ 3 + 5 + 7 + 1..
Others/Articles  |  2017. 5. 3. 00:20
[퍼온글] 삼각치환에서 타원적분으로
※ 출처 - http://bomber0.byus.net/index.php/2009/08/19/1428 $R(x,\, y)$는 $x,\, y$의 유리함수라고 가정하자. 삼각치환을 통한 적분 계산법을 간단히 정리해보자. $R(\cos x,\, \sin x)$의 적분: 다음과 같은 치환적분을 이용한다. \[ \begin{aligned} & t = \tan \frac{x}{2}, \quad \frac{dx}{dt}=\frac{2}{1+t^2}, \quad \sin x=\frac{2t}{1+t^2}, \quad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2} \\ & \quad \implies \int R(\cos x, \sin x) \,dx= \int R \left( \frac{1-t^2}{1+t^2}, \fr..
Others/Articles  |  2016. 9. 29. 10:55
[퍼온글] 초등학생들의 꿈 - Farey Series
※ 출처 - http://bomber0.byus.net/index.php/2008/04/18/594 http://bomber0.byus.net/index.php/2008/04/23/613 http://bomber0.byus.net/index.php/2008/05/08/642 수학에는 Freshman's dream(대학생 1학년의 꿈)이라는 것이 있다. 일반적으로 $(a+b)^n = a^n + b^n$이라는 등식은 참이 아니지만, 표수(characteristic)가 p인 유한체(finite field)에서는 다음의 수식이 성립한다. \[ (a+b)^p = a^p+b^p \] 이제 초등학교 시절로 돌아가 보자. 초등학생들이 분수의 덧셈을 처음 배울 때, 여러가지 어려운 점들이 등장하게 된다. 통분을 해야 하..
Others/Articles  |  2016. 9. 29. 09:05
[퍼온글] 여러가지 재미있는 풀이들
※ 출처는 http://kevin0960.tistory.com/ 1 = -1 이다. 이 문제의 경우 많은 (틀린)증명들이 있다. 하나씩 살펴보도록 하자 . 방법 1우선 $-1 = -1$이 자명하게 성립한다. 이제 이 식을 분수로 변형하고 양변에 루트를 씌우면\[ \frac{1}{-1} = \frac{-1}{1} \quad \Rightarrow \quad \sqrt{\frac{1}{-1}} = \sqrt{\frac{-1}{1}} \quad \Rightarrow \quad \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}} = \frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{1}} \]이제 양변에 $\sqrt{1}\cdot\sqrt{-1}$을 곱해주면\[ \sqrt{1}\cdot\sqrt{1} = \sqrt{-1}\c..
Others/Articles  |  2016. 9. 9. 05:53
Words and Numbers
※ 원 출처는 thousandmaths (인듯 하다. Tumblr에서 글을 리블로그하는 구조를 잘 몰라서 원 출처가 맞는지 확실하지는 않다.) I wasn’t particularly convinced by the evidence, but I eventually realized a proof that $n$ and $n+1$ share at least one letter for all $n$.First, large numbers: $n \geq 1,000,000$ is clear because all such numbers have at least one -ILLION. (If you use the long scale, there’s no problem at the transitions between th..
Others/Articles  |  2016. 8. 17. 04:58
파이($\pi$)와 타우($\tau$)
외국의 블로그를 구경하던 중에 아래와 같은 재미있는 차트를 발견했다. "원의 둘레와 원의 지름의 비"로써 정의되는 파이($\pi$)의 불합리성(?)을 해결하기 위해서 "원의 둘레와 원의 반지름의 비"로써 새로운 수학 상수 타우($\tau$)를 정의하고 (정의에 따라서 $\tau = 2\pi = 6.28 \cdots$가 된다), 원주율을 $\pi$가 아닌 $\tau$로 정의해야 하는 여러가지 이유에 대해서 설명하고 있는데, 하나하나 살펴보니 정말 그럴듯 한것 같기는 하다. $\tau$를 사용함으로써 원주율의 기하학적 의미가 좀 더 명확해 지고, $\pi$를 포함하는 여러가지 수식이 더 간결하게 표현되는 장점이 있기는 하지만, 원주율을 $\pi$에서 $\tau$로 바꾸기 위해서 들어갈 천문학적인 비용를 추정..
Others/Articles  |  2016. 8. 17. 04:18

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