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무한차원 벡터공간(vector space)의 기저(basis)
일반적으로 $n$차원 벡터공간(vector space) $\R^n$의 표준기저(standard basis)를 다음과 같이 정의한다. \[ B_n = \{ e_1,\, e_2,\, \ldots,\, e_n \} \] 여기서 각각의 $i = 1,\, \ldots,\, n$에 대하여 $e_i$는 $i$번째 성분이 $1$이고 나머지 모든 성분은 $0$인 $n$차원 벡터이다. 예를 들어 $3$차원 벡터공간 $\R^3$는 다음의 표준기저 $B_3 = \{e_1,\, e_2,\, e_3\}$를 갖는다. \[ e_1 = (1,\, 0,\, 0), \quad e_2 = (0,\, 1,\, 0), \quad e_2 = (0,\, 0,\, 1) \] 이제 모든 실수열들로 이루어진 벡터공간 $\R^{\infty}$에 대해 생..
Analysis/Functional Analysis  |  2018. 11. 2. 04:59
비르팅거 부등식 (Wirtinger's inequality)
비르팅거 부등식(Wirtinger's inequality)이란 푸리에 해석(Fourier analysis) 분야에서 자주 쓰이는 부등식으로, 특정한 형태의 주기함수에 대하여 성립하는 다음의 부등식을 말한다. 정리. 비르팅거 부등식 (Wirtinger's inequality) 주기가 $2\pi$이고 구간 $[0,\, 2\pi]$에서의 적분값이 $0$인 임의의 $C^1$-함수 $f$에 대하여 다음 부등식이 성립한다. \[ \int_{0}^{2\pi} (f'(t))^2 \,dt \geq \int_{0}^{2\pi} (f(t))^2 \,dt \]단, 등호는 $f(t) = a \cos(t) + b \sin(t)$일 때 성립한다. 증명. $f$가 주기함수이므로 $f$의 푸리에 급수(Fourier series)가 존..
Analysis/Functional Analysis  |  2017. 12. 7. 08:51
삼각부등식(triangle inequality)의 두항의 크기의 차
임의의 노름공간(normed vector space) $(X,\, \norm{\cdot})$의 임의의 두 벡터 $x,\, y \in X$에 대하여 다음의 삼각부등식(triangle inequality)가 성립한다. \[ \norm{x+y} \leq \norm{x} + \norm{y} \] 그렇다면 위 부등식의 두 항의 크기는 어느정도나 차이가 나는 걸까? 삼각부등식(triangle inequality)의 두항의 크기의 차다음 정리는 논문 [Lech Maligranda, "Simple Norm Inequalities", The American Mathematical Monthly, Vol. 113, No. 3 (Mar., 2006), pp. 256-260]에서 찾아 볼 수 있다. 정리. (Maligrand..
Analysis/Functional Analysis  |  2017. 11. 8. 03:03
Normed Space - 4. The Dual Space
4. The Dual Space 체 $\F$ 위의 두 노름공간(normed space) $V,\, W$에 대하여, \[ \begin{aligned} \mathcal{L}(V,\,W) &:= \set{L:V\to W}{\text{$L$ is linear and continuous}} \\ \mathcal{B}(V,\,W) &:= \set{L:V\to W}{\text{$L$ is linear and bounded}} \\ \end{aligned} \] 와 같이 두 공간을 정의하자. 우리는 앞서 $\mathcal{L}(V,\,W) = \mathcal{B}(V,\,W)$임을 살펴 보았다. 이제 임의의 $L,\, L_1,\, L_2 \in \mathcal{L}(V,\,W)$에 대하여, 다음과 같이 연산과 노름을 ..
Analysis/Functional Analysis  |  2016. 5. 2. 05:30
Normed Space - 3. Continuous Linear Transformation
3. Continuous Linear Transformation $(V,\, \norm{\cdot})$와 $(W,\, \norm{\cdot})$를 동일한 체 $\F$ 위에서의 두 노름공간(normed linear space)라 하자. 또한 $L: V \to W$ 을 선형변환(linear transformation) (= (상)mapping = (함수)function = (작용소)operator)이라 하자. 이 때, 만약 모든 $x_n \to x$ in $(V,\, \norm{\cdot})$에 대하여 $L(x_n) \to L(x)$ in $(W,\, \norm{\cdot})$을 만족하면, $L$이 $V$에서 연속(continuous)이라 한다. 정리 1.3.1 $L:(V,\, \norm{\cdot}) \t..
Analysis/Functional Analysis  |  2016. 5. 2. 05:09
Normed Space - 2. Finite Dimensional Normed Space
2. Finite Dimensional Normed Linear Space $X$를 차원이 $n$인 노름공간(normed linear space)이라 하자. 또한 Let $B = \{e_1,\,\ldots,\,e_n\}$를 $X$의 기저(basis)라 하자. 원소 $x \in X$를 택하여 고정하면, $x_i \in \F$이 존재하여 \[ x = x_1e_1 + x_2e_2 + \cdots + x_ne_n. \] 이 성립한다. 이제, $\norm{\cdot}$를 $X$ 위에서 주어진 노름(norm)이라 하자. $X$ 위에서 $\norm{\cdot}_1$을 \[ \norm{x}_1 := \abs{x_1} +\abs{x_2} + \cdots + \abs{x_n}. \] 으로 정의하면, $\norm{\cdot..
Analysis/Functional Analysis  |  2016. 4. 30. 00:56
Normed Space - 1. Definitions and Examples
1. Definitions and Examples 임의의 실수 $x \in \R$에 대하여, $x$의 절댓값 $\abs{x}$는 $x$가 원점으로 부터 얼마나 떨어져 있는가, 혹은 $x$의 '크기'를 타나내는 함수이다. 이를 일반적인 벡터공간(vector space)로 확장한 개념이 노름(norm)이라는 개념이다. 먼저 노름의 정의부터 살펴보자. 정의 1.1.1 $X$를 체 $\F$ ($\R$ 또는 $\C$) 위의 벡터공간(vector space)라 하자. $X$ 위에서의 노름(norm)은 아래의 조건을 만족하는 함수 $\norm{\cdot} : X \to \R$이다. (1) 모든 $x \in X$에 대하여 $\norm{x} \geq 0$. (2) $\norm{x} = 0$이면, 그리고 그 때에만 $x ..
Analysis/Functional Analysis  |  2016. 4. 29. 23:30
노름(norm)에서 내적(inner product)으로?
임의의 내적공간 $(V,\, \langle \cdot,\, \cdot \rangle)$가 주어졌다고 하자. 그러면 임의의 원소 $x \in V$에 대하여, 아래과 같이 노름 (norm)을 자연스럽게 정의할 수 있다. \[ \Vert x \Vert := \sqrt{\langle x,\, x \rangle}. \] 따라서 모든 내적공간 (inner product space)은 노름공간 (normed linear space)이 된다. 모든 내적이 위의 정의에 의해 노름을 정의하기 때문이다. 그렇다면, 모든 노름은 사실 어떠한 내적으로부터 유도된 것이라고 생각할 수 있을까? 이 문제에 대한 답을 하기 전에 먼저 내적의 정의에 의해 자연스럽게 유도되는 아래의 정리를 먼저 살펴보자. 정리 [평행사변형 법칙 (Par..
Analysis/Functional Analysis  |  2016. 3. 7. 07:45
Degree Theory (4) - Applications
이번에는 Degree theory와 Brouwer fixed theorem의 다양한 활용성에 대해 살펴보기 위하여, 이들을 이용한 몇 가지 증명을 알아보려고 한다. 먼저 대수학의 기본정리(fundamental theorem of algebra)를 degree theory를 이용하여 증명해보자. Theorem 4.1 (Fundamental Theorem of Algebra)상수가 아닌 복소수 계수 다항식(polynomial with complex coefficient)은 적어도 하나의 근을 갖는다. 즉, 복소계수 다항식 \[ p(z) = a_n z^n + a_{n-1}z^{n-1} = \cdots + a_1 z + a_0, \qquad a_n \neq 0, \quad n \geq 1 \]에 대하여 $p(z..
Analysis/Functional Analysis  |  2015. 11. 10. 13:03
Degree Theory (3) - Brouwer Fixed Point Theorem
Brouwer fixed point theorem은 Luitzen Brouwer에 의해 증명된 다음의 정리를 말한다: compact convex set $K$ (따라서, closed unit ball과 equivalent하다)에서 자기 자신으로 가는 모든 continuous mapping $f: K \to K$는 항상 fixed point (즉, 어떤 $x_0 \in K$가 존재하여, $f(x_0) = x_0$)가 존재한다. 이를 실생활에서 이 정리를 적용할 수 있는 예를 살펴보자. 1. 두장의 종이를 준비한다. (두장의 종이에는 무한히 촘촘한 모눈이 그러져 있다고 가정하자) 그 중의 한장의 종이를 자르거나 붙이지 않고 마구마구 구겨준다. 그런 다음에 이 구겨진 종이를 다른 종이 위에 삐져나오지 않도록 ..
Analysis/Functional Analysis  |  2015. 11. 10. 11:29

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