노름(norm)에서 내적(inner product)으로?

임의의 내적공간 $(V,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$가 주어졌다고 하자. 그러면 임의의 원소 $x\in V$에 대하여, 아래과 같이 노름 (norm)을 자연스럽게 정의할 수 있다.

$$\Vert x\Vert :=\sqrt{⟨x,x⟩}.$$

따라서 모든 내적공간 (inner product space)

^[각주:1]은 노름공간 (normed linear space)

^[각주:2]이 된다. 모든 내적이 위의 정의에 의해 노름을 정의하기 때문이다. 그렇다면, 모든 노름은 사실 어떠한 내적으로부터 유도된 것이라고 생각할 수 있을까? 이 문제에 대한 답을 하기 전에 먼저 내적의 정의에 의해 자연스럽게 유도되는 아래의 정리를 먼저 살펴보자.

정리 [평행사변형 법칙 (Parallelogram Law)]

임의의 내적공간 (inner product space) $(V,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$의 두 원소 $x,y\in V$에 대하여 다음이 성립한다.

$$\Vert x+y{\Vert }^2+\Vert x-y{\Vert }^2=2(\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2).$$

(물론 여기서의 노름은 $\Vert x\Vert :=\sqrt{⟨x,x⟩}$로 정의 된다.)

증명. 내적의 정의에 의해 다음의 식이 자연스럽게 유도 된다.

$$\begin{array}{rl}\Vert x+y{\Vert }^2+\Vert x-y{\Vert }^2& =⟨x+y,x+y⟩+⟨x-y,x-y⟩\\ & =[⟨x,x⟩+⟨x,y⟩+⟨y,x⟩+⟨y,y⟩]\\ & +[⟨x,x⟩-⟨x,y⟩-⟨y,x⟩+⟨y,y⟩]\\ & =2⟨x,x⟩+2⟨y,y⟩\\ & =2\Vert x{\Vert }^2+2\Vert y{\Vert }^2.\end{array}$$

따라서 평행사변형 법칙이 성립함을 알 수 있다. ■

따라서 모든 내적 공간은 위의 평행사변형 법칙을 만족해야 한다. 이제, ${\mathbb{R}}^2$의 원소 $x=(x_1,x_2)$ 에 대하여, $\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}:=max\{|x_1|,|x_2|\}$로 정의된 노름은 내적으로부터 정의될 수 없을을 증명해보자.

만약에 노름 $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$가 어떠한 내적으로부터 정의되었다면, 평행사변형 법칙을 만족해야만 한다. 이제 ${\mathbb{R}}^2$의 두 원소 $x=(1,0)$ and $y=(0,1)$를 생각해 보자. 그러면, $x+y=(1,1)$ 와 $x-y=(1,-1)$ 을 간단히 얻을 수 있다. 이제 이 네 원소들의 노름을 생각해 보자.

$$\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\Vert y{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\Vert x+y{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\Vert x-y{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=1,$$

위 계산 결과로 부터 아래를 얻는다.

$$\Vert x+y{\Vert }_{\mathrm{\infty }}+\Vert x-y{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=2\ne 4=2(\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}^2+\Vert y{\Vert }_{\mathrm{\infty }}^2).$$

따라서, 노름공간 $({\mathbb{R}}^2,\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }})$는 평행사변형 법칙을 만족하지 못함을 알 수 있고, 따라서 어떤 내적으로부터도 유도될 수 없을을 알 수 있다.

그러면 어떠한 경우에 주어진 노름이 내적으로부터 유도된 것임을 알 수 있을까? 또한 어떠한 경우에 주어진 노름으로부터 새로운 내적을 정의할 수 있을까? 이 두 질문에 대한 대답은 아래 정리로부터 얻을 수 있다.

정리 [Jordan-Von Neumann Theorem]

노름공간 $(V,\Vert \cdot |)$이 평행사변형 법칙을 만족한다고 하자. 그러면 아래와 같은 방법으로 $V$에서의 내적을 정의할 수 있다.

1. $V$가 실수체 $\mathbb{R}$ 위에서 정의된 경우:

$$\begin{array}{}\text{(}\ast \text{)}& ⟨x,y⟩:=\frac{1}{4}(\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x-y{\Vert }^2).\end{array}$$

2. $V$가 복소수체 $\mathbb{C}$ 위에서 정의된 경우:

$$\begin{array}{rl}⟨x,y⟩:& =\frac{1}{4}\sum _{k=0}^3{i}^k\Vert x+i^{k}y{\Vert }^2\\ & =\frac{1}{4}(\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x-y{\Vert }^2+i\Vert x+iy{\Vert }^2-i\Vert x-iy{\Vert }^2).\end{array}$$

따라서 $V$는 내적공간이 되고, 모든 $x\in V$에 대하여 $\Vert x\Vert =\sqrt{⟨x,x⟩}$ 를 만족한다.

증명. 증명을 간단히 하기 위해 $V$가 실수체 $\mathbb{R}$ 위에서 정의되었다고 가정하자. ($V$가  $\mathbb{C}$ 위에서 정의된 경우도 비슷하게 (하지만 좀 더 길게) 증명할 수 있다.) 우리는 $(\ast )$로 정의된 내적이 실제로 내적의 네가지 공리를 만족함을 노름의 공리와 평행사변형 법칙으로부터 유도해야만 한다. 하나씩 살펴 보도록 하자. 나중에...

1. https://en.wikipedia.org/wiki/Inner_product_space [본문으로]
2. https://en.wikipedia.org/wiki/Normed_vector_space [본문으로]