Degree Theory (2) - Properties

이번에는 Brouwer Degree의 다양한 성질들을 알아보고자 한다. 앞으로 나올 정리 및 예제에서 따로 언급이 없다면, triple $(f,\mathrm{\Omega },y)$는 $f\in C(\overline{\mathrm{\Omega }})$와 $y\notin f(\partial \mathrm{\Omega })$를 만족하고, 따라서 Brouwer degree $\mathrm{deg}(f,\mathrm{\Omega },y)$가 잘 정의된다고 가정한다.

Theorem 2.1 (Solution Property)

만약 $\mathrm{deg}(f,\mathrm{\Omega },y)\ne 0$이면, $f(x)=y$의 해가 존재한다.

Theorem 2.2 (Continuity Property)

만약 mapping $g\in C(\overline{\mathrm{\Omega }})$ 와 $z\in {\mathbb{R}}^n$ 에 대하여, 양의 실수 $ϵ>0$가 존재하여, 모든 $x\in \overline{\mathrm{\Omega }}$에 대하여 $|f(x)-g(x)|+|y-z|<ϵ$을 만족하면, $\mathrm{deg}(f,\mathrm{\Omega },y)=\mathrm{deg}(g,\mathrm{\Omega },z)$이다.

위 Theorem 2.2에 의해, 다음과 같은 중요한 사실을 이끌어 낼 수 있다. 만약 집합 $C$를

$$C:=\{f\in C(\overline{\mathrm{\Omega }}):y\notin f(\partial \mathrm{\Omega })\}$$

와 같이 정의하면, $C$는 $\rho (f,g):=||f-g||$로 정의된 metric $\rho$에 의한 metric space가 된다. 이제 mapping $d:C\to \mathbb{N}$을 $d(f):=\mathrm{deg}(f,\mathrm{\Omega },y)$와 같이 정의하면, Theorem 2.2에 의해 $d$는 $C$에서 $\mathbb{N}$ (이 때, $\mathbb{N}$는 discrete topology로 간주한다)으로 가는 continuous function임을 보일 수 있다. 따라서, $d$는 $C$의 connected component들에 대하여 constant function이 된다. 이를 다시 정리하면 (개인적으로 degree theory에서 가장 중요하다고 생각하는) 아래 정리를 얻을 수 있다.

Theorem 2.3 (Homotopy Invariance Property)

두 mapping $f,g:\overline{\mathrm{\Omega }}\to {\mathbb{R}}^n$이 $f,g\in C(\overline{\mathrm{\Omega }})$이고, $y\in {\mathbb{R}}^n$이 존재하여, 모든 $x\in \partial \mathrm{\Omega }$에 대해 $f(x)\ne y\ne g(x)$를 만족한다고 하자. 또한 mapping $h:[a,b]\times \overline{\mathrm{\Omega }}\to {\mathbb{R}}^n$이 연속(continuous)이고, 

1. 모든 $x\in \overline{\mathrm{\Omega }}$에 대하여 $h(a,x)=f(x)$, $h(b,x)=g(x)$이고,

2. 모든 $(t,x)\in [a,b]\times \partial \mathrm{\Omega }$에 대하여 $h(t,x)\ne y$를 만족한다고 하자. 

그러면, 모든 $a\le t\le b$에 대하여 $\mathrm{deg}(h(t,\cdot ),\mathrm{\Omega },y)=\text{constant}$가 성립하고, 특히,

$$\mathrm{deg}(f,\mathrm{\Omega },y)=\mathrm{deg}(g,\mathrm{\Omega },y)$$

가 성립한다.

위 Theorem 2.3으로부터 다음 두개의 Corollary를 도출해 낼 수 있다.

Corollary 2.4

두 mapping $f,g:\overline{\mathrm{\Omega }}\to {\mathbb{R}}^n$이 $f,g\in C(\overline{\mathrm{\Omega }})$이고, $y\in {\mathbb{R}}^n$이 존재하여, 모든 $x\in f(\partial \mathrm{\Omega })$에 대해 $f(x)\ne y\ne g(x)$를 만족한다고 하자. 만약 모든 $x\in \partial \mathrm{\Omega }$에 대하여, $|f(x)-g(x)|<|f(x)-y|$를 만족하면, $\mathrm{deg}(f,\mathrm{\Omega },y)=\mathrm{deg}(g,\mathrm{\Omega },y)$이 성립한다.

Corollary 2.5

두 mapping $f,g:\overline{\mathrm{\Omega }}\to {\mathbb{R}}^n$이 $f,g\in C(\overline{\mathrm{\Omega }})$이고, $y\in {\mathbb{R}}^n$이 존재하여, 모든 $x\in f(\partial \mathrm{\Omega })$에 대해 $f(x)\ne y\ne g(x)$를 만족한다고 하자. 만약 모든 $x\in \partial \mathrm{\Omega }$에 대하여, $f(x)=g(x)$&를 만족하면, $\mathrm{deg}(f,\mathrm{\Omega },y)=\mathrm{deg}(g,\mathrm{\Omega },y)$이 성립한다. 다시 말해, degree는 오직 boundary data에만 영향을 받는다.

이제 실제로 degree를 계산하는데 도움이 되는 기타 중요한 성질들을 아래에 정리해 본다.

Theorem 2.6 (Additivity Property)

$\mathrm{\Omega }$가 bounded open set 이고 ${\mathrm{\Omega }}_1,\dots ,{\mathrm{\Omega }}_k$의 disjoint union으로 표현된다고 하자. 만약 $f:\mathrm{\Omega }\to {\mathbb{R}}^n$이 $f\in C(\overline{\mathrm{\Omega }})$을 만족하고, 모든 $i=1,\dots ,k$에 대하여 $y\notin f(\partial {\mathrm{\Omega }}_i)$이면,

$$\mathrm{deg}(f,\mathrm{\Omega },y)=\sum _{i=1}^k\mathrm{deg}(f,{\mathrm{\Omega }}_i,y).$$

Theorem 2.7 (Excision Property)

$\mathrm{\Omega }$가 bounded open set 이고  $f:\mathrm{\Omega }\to {\mathbb{R}}^n$이 $f\in C(\overline{\mathrm{\Omega }})$을 만족하며, $\overline{\mathrm{\Omega }}$의 closed subset $K$가 존재하여, $y\notin f(\partial \mathrm{\Omega }\cup K)$를 만족한다고 하자. 그러면

$$\mathrm{deg}(f,\mathrm{\Omega },y)=\mathrm{deg}(f,\mathrm{\Omega }\setminus K,y).$$

Theorem 2.8 (Cartesian Product Formula)

$\mathrm{\Omega }={\mathrm{\Omega }}_1\times {\mathrm{\Omega }}_2\subseteq {\mathbb{R}}^{n_1+n_2}$가 bounded open set이라 하자. (당연히, ${\mathrm{\Omega }}_1\subseteq {\mathbb{R}}^{n_1}$, ${\mathrm{\Omega }}_2\subseteq {\mathbb{R}}^{n_2}$ 또한 각각의 공간에서 bounded open set이다.) $x\in {\mathbb{R}}^{n_1+n_2}$를 $x=(x_1,x_2)$, $x_1\in {\mathbb{R}}^{n_1}$, $x_2\in {\mathbb{R}}^{n_2}$와 같이 나타내자. 만약 mapping $f:\overline{\mathrm{\Omega }}\to {\mathbb{R}}^{n_1+n_2}$를 $f_i:{\overline{\mathrm{\Omega }}}_i\to {\mathbb{R}}^{n_i}$에 대하여, $f(x)=(f_1(x_1),f_2(x_2))$와 같이 정의하고, $y=(y_1,y_2)\in {\mathbb{R}}^{n_1+n_2}$가 존재하여, $y_i\notin f_i(\partial {\mathrm{\Omega }}_i)$를 만족한다고 하자. 그러면,

$$\mathrm{deg}(f,\mathrm{\Omega },y)=\mathrm{deg}(f_1,{\mathrm{\Omega }}_1,y)+\mathrm{deg}(f_2,{\mathrm{\Omega }}_2,y).$$