Degree Theory (1) - Definition of Degree

${\mathbb{R}}^n$의 bounded open set $\mathrm{\Omega }$를 생각하자. 그리고 $f:\overline{\mathrm{\Omega }}\to {\mathbb{R}}^n$이 다음을 만족하는 mapping이라 하자.

(1) $f\in C^1(\mathrm{\Omega })\cap C^0(\overline{\mathrm{\Omega }})$.

(2) $y\notin f(\partial \mathrm{\Omega })$를 만족하는 $y\in {\mathbb{R}}^n$이 존재한다.

(3) $f(x)=y$를 만족하는 모든 $x\in \mathrm{\Omega }$에 대하여, $f^{\prime }(x):=Df(x)$는 nonsingular이다.

이러한 조건을 만족하는 triple $(f,\mathrm{\Omega },y)$에 대하여, $\overline{\mathrm{\Omega }}$가 compact set이고, $f$가 differentiable이며, $f^{\prime }(x)$가 nonsingular이므로, inverse function theorem에 의해 $f(x)=y$는 많아야 유한개의 해를 가짐을 보일 수 있다. 이제 $(f,\mathrm{\Omega },y)$의 degree를 다음과 같이 정의한다.

Definition 1.1 ($C^1$-degree) 

$(f,\mathrm{\Omega },y)$가 조건 (1), (2), (3)을 만족한다고 하자. $f$의 degree, $\mathrm{deg}(f,\mathrm{\Omega },y)$를 아래와 같이 정의한다.

$$\mathrm{deg}(f,\mathrm{\Omega },y):=\sum _{x\in f^{-1}(y)}\mathrm{sgn}det{f}^{\prime }(x).$$

만약 $f(x)=y$의 해가 존재하지 않을 경우, $\mathrm{deg}(f,\mathrm{\Omega },y)=0$으로 정의한다.

위의 정의만으로는 degree를 왜 정의하는지, 그 의미가 무엇인지 알기 힘드므로, 간단히 예를 통해 알아보기 위하여 구간 $(a,b)$에서 미분 가능하고 구간 $[a,b]$에서 연속인 함수 $f:[a,b]\to \mathbb{R}$를 생각해 보자. 이제, $y=0$으로 정의하고 $f(a)\ne 0$, $f(b)\ne 0$)라 하자. 그러면 정의에 따라 함수 $f$의 degree를 계산할 수가 있는데, 몇번의 계산을 거치고 나면 degree가 오직 다음의 세가지 경우로만 계산됨을 알 수 있다.

$$\mathrm{deg}(f,(a,b),0)=\{\begin{array}{ll}1& \text{ if }f(a)<0<f(b)\\ 0& \text{ if }f(a)f(b)>0\\ -1& \text{ if }f(a)>0>f(b).\end{array}$$

여기서 $f(a)f(b)<0$인 (즉, 첫번째와 세번째) 경우를 살펴보자. 중간값 정리(intermediate value theorem)를 이용하면, $f(x)=0$의 해가 구간 $(a,b)$ 사이에 반드시 존재함을 보일 수 있다. 그러므로 $\mathrm{deg}(f,(a,b),0)\ne 0$인 경우, $f(x)=0$의 해가 구간 $(a,b)$ 사이에 반드시 존재한다는 사실을 알 수 있다. 이렇게 degree는 주어진 등식 $f(x)=y$의 해의 존재성을 증명하는데 아주 강력한 도구가 된다.

다시 본론으로 돌아와서 일반적인 degree의 성질에 대해 알아보자. 먼저 적분을 이용해 degree를 구하는 방법을 알아보자.

Proposition 1.2

함수 $\varphi :[0,\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$이 연속이고 다음을 만족한다고 하자.

$$\varphi (0)=0,\varphi (t)\equiv 0,\text{ for }t\ge r>0,{\int }_{{\mathbb{R}}^n}\varphi (|x|)dx=1.$$

그러면, 조건 (1), (2), (3)을 만족하는 $f$와 충분히 작은 $r$에 대하여,

$$\mathrm{deg}(f,\mathrm{\Omega },y)={\int }_{\mathrm{\Omega }}\varphi (|f(x)-y|)det{f}^{\prime }(x)dx.$$

위의 적분을 이용한 degree의 정의와, 몇 단계의 lemma를 거치면 아래의 proposition을 증명할 수 있다.

Proposition 1.3

$(f,\mathrm{\Omega },y)$가 조건 (1), (2), (3)을 만족한다고 하자. 만약 또 다른 mapping $g:\overline{\mathrm{\Omega }}\to {\mathbb{R}}^n$가 조건 (1), (2), (3)을 만족하고, 임의의 $ϵ>0$과 모든 $x\in \mathrm{\Omega }$에 대하여, $|f(x)-g(x)|<ϵ$을 만족하면,

$$\mathrm{deg}(f,\mathrm{\Omega },y)=\mathrm{deg}(g,\mathrm{\Omega },y).$$

즉, 충분히 가까운 서로 다른 두 mapping $f,g$의 degree는 언제나 같음을 의미한다. 이제 위의 사실을 이용하면, degree를 정의하기 위한 조건 (1), (2), (3)을 좀 더 완화할 수 있다. 자세한 증명을 위해서는 또 다시 몇 단계의 lemma들과 Sard's theorem등이 필요하므로, 역시 증명은 생략하도록 한다.

Theorem & Definition 1.4 (Brouwer Degree)

${\mathbb{R}}^n$의 bounded open set $\mathrm{\Omega }$를 생각하자. 그리고 $f:\overline{\mathrm{\Omega }}\to {\mathbb{R}}^n$에 대하여, $f\in C^0(\overline{\mathrm{\Omega }})$이고, $y\in {\mathbb{R}}^n$이 $y\notin f(\partial \mathrm{\Omega })$를 만족한다고 하자. 그러면 조건 (1), (2), (3)을 모두 만족하고 $g_n\to f$인 mapping $g_n:\overline{\mathrm{\Omega }}\to {\mathbb{R}}^n$이 존재한다. 따라서 $f$의 mapping을 아래와 같이 정의한다.

$$\mathrm{deg}(f,\mathrm{\Omega },y)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\mathrm{deg}(g_n,\mathrm{\Omega },y).$$

위의 정의에서 $f$는 조건 (2)만을 만족하므로, $f$가 $C^1(\mathrm{\Omega }))$ mapping이 아니여도, ((1)을 만족하지 않음) $f(x)=y$를 만족하는 $x\in \mathrm{\Omega }$에 대하여, $f^{\prime }(x)$가 singular여도 ((3)을 만족하지 않음) 상관 없이 $f$의 degree를 정의할 수 있다. 이렇게 정의되는 degree를 mapping $f$의 Brouwer degree라 한다. 또한 이렇게 완화된 조건을 만족하는 $f$에 대해서도 Proposition 1.2와 같이 적분을 이용해 degree를 정의할 수 있다. 함수 $\varphi :[0,\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$이 연속이고 다음을 만족한다고 하자.

$$\varphi (0)=0,\varphi (t)\equiv 0,\text{ for }t\ge r>0,{\int }_{{\mathbb{R}}^n}\varphi (|x|)dx=1.$$

그러면, $r<\underset{x\in \partial \mathrm{\Omega }}{min}|f(x)-y|$에 대하여,

$$\mathrm{deg}(f,\mathrm{\Omega },y)={\int }_{\mathrm{\Omega }}\varphi (|f(x)-y|)det{f}^{\prime }(x)dx.$$