Degree Theory (1) - Definition of Degree

$\mathbb{R}^n$의 bounded open set $ \Omega$를 생각하자. 그리고 $f:\bar{\Omega} \to \mathbb{R}^n$이 다음을 만족하는 mapping이라 하자.

(1) $f \in C^1(\Omega) \cap C^0(\bar{\Omega})$.

(2) $y \notin f(\partial \Omega)$를 만족하는 $y \in \mathbb{R}^n$이 존재한다.

(3) $f(x) = y$를 만족하는 모든 $x \in \Omega$에 대하여, $f'(x) := Df(x)$는 nonsingular이다.

이러한 조건을 만족하는 triple $(f,\, \Omega,\, y)$에 대하여, $\bar{\Omega}$가 compact set이고, $f$가 differentiable이며, $f'(x)$가 nonsingular이므로, inverse function theorem에 의해 $f(x)=y$는 많아야 유한개의 해를 가짐을 보일 수 있다. 이제 $(f,\, \Omega,\, y)$의 degree를 다음과 같이 정의한다.

Definition 1.1 ($C^1$-degree) 

$(f,\, \Omega,\, y)$가 조건 (1), (2), (3)을 만족한다고 하자. $f$의 degree, $\operatorname{deg}(f,\, \Omega,\, y)$를 아래와 같이 정의한다.

\[ \operatorname{deg}(f,\, \Omega,\, y) := \sum_{x \in f^{-1}(y)} \operatorname{sgn} \det f'(x). \]

만약 $f(x)=y$의 해가 존재하지 않을 경우, $\operatorname{deg}(f,\, \Omega,\, y) = 0$으로 정의한다.

위의 정의만으로는 degree를 왜 정의하는지, 그 의미가 무엇인지 알기 힘드므로, 간단히 예를 통해 알아보기 위하여 구간 $(a,\,b)$에서 미분 가능하고 구간 $[a,\,b]$에서 연속인 함수 $f: [a,\,b] \to \mathbb{R}$를 생각해 보자. 이제, $y=0$으로 정의하고 $f(a) \neq 0$, $f(b) \neq 0$)라 하자. 그러면 정의에 따라 함수 $f$의 degree를 계산할 수가 있는데, 몇번의 계산을 거치고 나면 degree가 오직 다음의 세가지 경우로만 계산됨을 알 수 있다.

\[ \operatorname{deg}(f,\, (a,\,b),\,  0) = \begin{cases} 1 & \text{ if } f(a) < 0 < f(b) \\ 0 & \text{ if } f(a) f(b) > 0 \\ -1 & \text{ if } f(a) > 0 > f(b). \end{cases} \]

여기서 $f(a)f(b) < 0$인 (즉, 첫번째와 세번째) 경우를 살펴보자. 중간값 정리(intermediate value theorem)를 이용하면, $f(x)=0$의 해가 구간 $(a,\,b)$ 사이에 반드시 존재함을 보일 수 있다. 그러므로 $\operatorname{deg}(f,\, (a,\,b),\,  0) \neq 0$인 경우, $f(x)=0$의 해가 구간 $(a,\,b)$ 사이에 반드시 존재한다는 사실을 알 수 있다. 이렇게 degree는 주어진 등식 $f(x) = y$의 해의 존재성을 증명하는데 아주 강력한 도구가 된다.

다시 본론으로 돌아와서 일반적인 degree의 성질에 대해 알아보자. 먼저 적분을 이용해 degree를 구하는 방법을 알아보자.

Proposition 1.2

함수 $\phi: [0,\, \infty) \to \mathbb{R}$이 연속이고 다음을 만족한다고 하자.

\[ \phi(0)=0, \quad \phi(t) \equiv 0, \text{ for } t \geq r > 0, \quad \int_{\mathbb{R}^n} \phi(|x|) dx = 1. \]

그러면, 조건 (1), (2), (3)을 만족하는 $f$와 충분히 작은 $r$에 대하여,

\[ \operatorname{deg}(f,\, \Omega,\, y) = \int_{\Omega} \phi(|f(x)-y|) \det f'(x) dx. \]

위의 적분을 이용한 degree의 정의와, 몇 단계의 lemma를 거치면 아래의 proposition을 증명할 수 있다.

Proposition 1.3

$(f,\, \Omega,\, y)$가 조건 (1), (2), (3)을 만족한다고 하자. 만약 또 다른 mapping $g: \bar{\Omega} \to \mathbb{R}^n$가 조건 (1), (2), (3)을 만족하고, 임의의 $\epsilon>0$과 모든 $x \in \Omega$에 대하여, $|f(x) - g(x)| < \epsilon$을 만족하면,

\[ \operatorname{deg}(f,\, \Omega,\, y) = \operatorname{deg}(g,\, \Omega,\, y). \]

즉, 충분히 가까운 서로 다른 두 mapping $f,\,g$의 degree는 언제나 같음을 의미한다. 이제 위의 사실을 이용하면, degree를 정의하기 위한 조건 (1), (2), (3)을 좀 더 완화할 수 있다. 자세한 증명을 위해서는 또 다시 몇 단계의 lemma들과 Sard's theorem등이 필요하므로, 역시 증명은 생략하도록 한다.

Theorem & Definition 1.4 (Brouwer Degree)

$\mathbb{R}^n$의 bounded open set $ \Omega$를 생각하자. 그리고 $f:\bar{\Omega} \to \mathbb{R}^n$에 대하여, $f \in C^0(\bar{\Omega})$이고, $y \in \mathbb{R}^n$이 $y \notin f(\partial \Omega)$를 만족한다고 하자. 그러면 조건 (1), (2), (3)을 모두 만족하고 $g_n \to f$인 mapping $g_n: \bar{\Omega} \to \mathbb{R}^n$이 존재한다. 따라서 $f$의 mapping을 아래와 같이 정의한다.

\[ \operatorname{deg}(f,\, \Omega,\, y) = \lim_{n \to \infty} \operatorname{deg}(g_n,\, \Omega,\, y). \]

위의 정의에서 $f$는 조건 (2)만을 만족하므로, $f$가 $C^1(\Omega))$ mapping이 아니여도, ((1)을 만족하지 않음) $f(x) = y$를 만족하는 $x \in \Omega$에 대하여, $f'(x)$가 singular여도 ((3)을 만족하지 않음) 상관 없이 $f$의 degree를 정의할 수 있다. 이렇게 정의되는 degree를 mapping $f$의 Brouwer degree라 한다. 또한 이렇게 완화된 조건을 만족하는 $f$에 대해서도 Proposition 1.2와 같이 적분을 이용해 degree를 정의할 수 있다. 함수 $\phi: [0,\, \infty) \to \mathbb{R}$이 연속이고 다음을 만족한다고 하자.

\[ \phi(0)=0, \quad \phi(t) \equiv 0, \text{ for } t \geq r > 0, \quad \int_{\mathbb{R}^n} \phi(|x|) dx = 1. \]

그러면, $r < \min_{x \in \partial \Omega} |f(x)-y|$에 대하여,

\[ \operatorname{deg}(f,\, \Omega,\, y) = \int_{\Omega} \phi(|f(x)-y|) \det f'(x) dx. \]