'Geometry/Euclidean Geometry'에 해당되는 글 23건

사각형의 넓이와 브레치나이더 공식(Bretschneider's formula)
브레치나이더 공식(Bretschneider's formula)은 임의의 사각형의 네 변의 길이와 마주보는 두 각의 크기를 이용하여 사각형의 넓이를 계산하는 공식을 뜻한다. 이 공식은 원에 내접한 사각형의 넓이를 구하는 브라마굽타 공식(Brahmagupta's formula)과 삼각형의 넓이를 구하는 헤론의 공식(Heron's formula)의 확장으로 볼 수 있다. 정리. 브레치나이더 공식(Bretschneider's formula) 임의의 사각형 $ABCD$의 네 변의 길이를 각각 $a,\, b,\, c,\, d$라 하고 마주보는 두 각의 크기를 각각 $\alpha$, $\gamma$라 하자. 그러면 사각형의 넓이 $K$는 \[ K = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd \co..
Geometry/Euclidean Geometry  |  2019. 1. 11. 02:11
외접 다각형 상수(polygon circumscribing constant)와 내접 다각형 상수(polygon inscribing constant)
원이 하나 주어졌다고 하자. 이 원에 외접하는 정삼각형을 하나 그리고 다시 정삼각형에 외접하는 원을 그린다. 이제 이 원에 외접하는 정사각형을 그리고 다시 정사각형에 외접하는 원을 그린다. 다음으로 이 원에 외접하는 정오각형을 그리고 다시 정오각형에 외접하는 원을 그린다. 이와 같은 행위를 계속 반복하면 반지름이 점점 커지는 무한히 많은 동심원들이 그려지게 될 것이다. 이 때, 가장 바깥쪽에 그려지게 될 원은 무한히 커지게 될까? $ $ 이번에는 반대로 생각해 보자. 주어진 원에 대하여, 원에 내접하는 정삼각형을 하나 그리고 다시 정삼각형에 내접하는 원을 그린다. 이제 이 원에 내접하는 정사각형을 그리고 다시 정사각형에 내접하는 원을 그린다. 다음으로 이 원에 내접하는 정오각형을 그리고 다시 정오각형에 ..
Geometry/Euclidean Geometry  |  2018. 8. 11. 23:26
파도아의 부등식(Padoa's Inequality)과 오일러의 부등식(Euler's inequality)
파도아의 부등식(Padoa's Inequality)은 임의의 삼각형 $ABC$의 세 변 $a,\,b,\,c$ 사이에 성립하는 다음의 부등식을 말한다. \[ abc \geq (a + b - c)(a + c - b)(b + c - a) \] 한 편, 삼각형 $ABC$의 내접원과 외접원의 반지름을 각각 $r,\,R$이라 하면, 잘 알려진 오일러의 부등식(Euler's inequality)이 성립한다. \[ R \geq 2r \] 위 두 부등식은 사실 서로 동치인데, 이번 글에서는 먼저 파도아의 부등식을 증명하고 이 부등식을 바탕으로 오일러의 부등식을 이끌어낼 것이다. $ $ 파도아의 부등식(Padoa's Inequality) 정리. 파도아의 부등식(Padoa's Inequality) 삼각형 $ABC$의 세 변..
Geometry/Euclidean Geometry  |  2018. 8. 8. 23:25
월리스-보여이-게르빈 정리(Wallace-Bolyai-Gerwien theorem)
분할 퍼즐(dissection puzzle)이란 평면 위에 주어진 다각형을 적당히 유한개의 다각형 조각들로 잘라낸 후에 다시 재결합하여 새로운 다각형을 만들어 내는 퍼즐의 한 분야를 말한다. 분할 퍼즐을 보면 매우 다양한 과제를 볼 수 있다. 삼각형, 사각형, 십자가 등등의 친숙한 다각형을 이리저리 잘라내고 붙여서 전혀 새로운 다각형을 만드는 것을 보면 그저 신기하기만 하다. 그러나 간혹 어떤 다각형들은 다른 다각형으로 변환하는 것이 불가능에 가까워 보이기도 한다. 과연 분할 퍼즐 중에서 불가능 한 것이 있을까? 답은 "아니다"이다. 월리스-보여이-게르빈 정리(Wallace-Bolyai-Gerwien theorem)에 따르면 크기가 같은 모든 두 단순다각형(simple polygon)에 대하여, 한 다각..
Geometry/Euclidean Geometry  |  2017. 12. 29. 06:55
등주부등식(isoperimetric inequality)과 비르팅거 부등식(Wirtinger's inequality)
등주부등식(isoperimetric inequality)이란 주어진 폐곡선의 둘레와 그 폐곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이 사이의 관계에 대한 답을 제공한다. 즉, 등주부등식을 이용하여 "둘레의 길이가 일정한 폐곡선으로 둘러싸인 영역의 최대넓이는 무엇인가?"와 "넓이가 일정한 영역을 둘러싸는 곡선의 최소길이는 무엇인가?"에 대한 (이를 등주문제(isoperimetric problem)라 부른다) 대답을 동시에 할 수 있으며, 이 때의 답은 주어진 영역이 원일 때임을 알려 준다. 등주문제에 대한 답은 고대 그리스 시대부터 알려져 있었다고 알려져 있으나, 최초의 엄밀한 수학적 증명은 19세기에 들어서 가능했다고 한다. 정리. 등주부등식(isoperimetric inequality) 평면 $\R^2$ 위에 주어진..
Geometry/Euclidean Geometry  |  2017. 12. 13. 08:07
[퍼온글] 가비의 리 (加比の理)
※ 출처 - http://goodmath.tumblr.com/page/5 일어 위키에 있는 “加比の理”의 내용을 바탕으로 아래의 정리를 얻을 수 있었다. 정리. 가비의 리 $cd > 0$이고, $\tfrac{1}{c} \leq \tfrac{b}{d}$인 네 실수 $a$, $b$, $c$, $d$에 대하여 다음이 성립한다. \[ \frac{a}{c} \leq \frac{a+b}{c+d} \leq \frac{b}{d} \tag{1} \] 단, 등호는 $\tfrac{a}{c} = \tfrac{b}{d}$일 때 성립하는데, 등호가 성립할 때의 식 $(1)$을 ‘가비의 리(加比の理)'라고 한다. 증명. $cd > 0$ 이므로 $\tfrac{a}{c} \leq \tfrac{b}{d} \iff ad \leq bc$이..
Geometry/Euclidean Geometry  |  2017. 7. 12. 01:55
Problems and Solutions #016
Problem #016 삼각형 $ABC$ 위에, 변 $BC$를 $1:2$로 내분하는 점 $D$, 변 $CA$를 $1:2$로 내분하는 점 $E$, 변 $AB$를 $1:2$로 내분하는 점 $F$을 각각 잡는다. 이 때, 삼각형 $IGH$의 넓이는 언제나 삼각형 $ABC$의 넓이의 $1/7$이 됨을 증명하여라. 먼저 아래와 같이 보조선 $DE$와 $IE$를 그린다. 그러면 삼각형 $IGH$와 삼각형 $ABC$의 넓이의 비는 아래의 식을 통해서 구할 수 있다. \[ \frac{\triangle IGH}{\triangle ABC} = \frac{\triangle ADC}{\triangle ABC} \cdot \frac{\triangle ADE}{\triangle ADC} \cdot \frac{\triangle I..
Geometry/Euclidean Geometry  |  2016. 10. 18. 23:28
구면삼각형(spherical triangle)의 넓이, Girard의 정리
평면상의 직선이란 직관적으로 무한이 길고 곧은 선을 의미한다. 이 평면상의 직선 등을 다루는 기하학이 바로 평면기하학, 유클리드 기하학 등으로 불린다. 그렇다면 구면상에서의 직선은 어떻게 정의할 수 있을까? 구면상에서의 직선은 바로 구면상에 있는 대원(great circle)이 된다. 구면 위에 두 점이 있을 때, 그 두 점과 구의 중심은 하나의 평면을 결정하고, 그 평면과 구면이 만나서 그리는 원을 대원이라고 한다. 구면위의 두 점을 잇는 선분 또한 같은 방법으로 얻을 수 있다. (두 점을 지나는 대원을 구하면, 이 두점이 대원을 두 부분으로 나누게 되는데 이 중 짧은 쪽을 두 점을 잇는 선분으로 정의한다.) 이제 구면위에 세 점이 있을 때 이 세 점을 이어 만들어진 구면삼각형(spherical tri..
Geometry/Euclidean Geometry  |  2016. 10. 5. 11:31
[퍼온글] 정다각형의 대각선의 길이
※ 출처 - http://bomber0.byus.net/index.php/2010/12/22/1862 몇달전에 공부하는 과정에서 $r_i^2 = 1+r_{i-1} r_{i+1}$ 와 같은 점화식을 해결해야 한 적이 있었다. 후에 정다각형의 대각선의 길이가 똑같은 관계를 만족시킨다는 것을 알게 되어 재밌게 여긴 적이 있었다. 이 때문에 해보는 정다각형의 대각선 길이에 대한 이야기이다. 정사각형의 대각선의 길이 한변의 길이가 $1$인 정사각형의 대각선의 길이는 피타고라스의 정리를 이용하여 $\sqrt{2}$가 됨을 보일수 있다. "$\sqrt{2}$는 무리수" 라는 이야기는 중고교수학에서 배우는 가장 멋진 사실의 하나라 할 수 있다. 정오각형의 대각선의 길이 정오각형의 한 변의 길이와 대각선의 길이의 비율이..
Geometry/Euclidean Geometry  |  2016. 10. 5. 03:44
[퍼온글] 정다면체는 왜 5개 밖에 없을까?
※ 출처 - http://kevin0960.tistory.com/ 사실 정다면체가 5개 밖에 존재하지 않는 다는 사실은 오래 전 부터 알려져 있었다. 무려 4천년 전에 스코트랜드에서 정다면체 5개의 모양으로 깍은 돌들이 발견이 되었지만 실제로 정다면체에 관한 연구를 문헌으로 남긴 이들은 바로 그리스 사람들 이였다. 그리스의 철학자 플라톤(Plato)은 Timaeus에서 4 가지의 원소(땅, 공기, 물, 불)와 정십이면체를 제외한 나머지 4개의 정다면체가 서로 연관되어 있다고 하였다. 정다면체에 대해 최초로 수학적으로 분석한 사람은 유클리드(Euclid) 였다. 유클리드의 저서 '원론(Elements)' 의 마지막 책인 13권에 정다면체에 자세한 내용이 나타나 있다. 13권의 명제 13~17번에서 유클리드..
Geometry/Euclidean Geometry  |  2016. 9. 9. 12:03

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