파도아의 부등식(Padoa's Inequality)과 오일러의 부등식(Euler's inequality)

파도아의 부등식(Padoa's Inequality)은 임의의 삼각형 $ABC$의 세 변 $a,b,c$ 사이에 성립하는 다음의 부등식을 말한다. $$abc\ge (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)$$ 한 편, 삼각형 $ABC$의 내접원과 외접원의 반지름을 각각 $r,R$이라 하면, 잘 알려진 오일러의 부등식(Euler's inequality)이 성립한다. $$R\ge 2r$$ 위 두 부등식은 사실 서로 동치인데, 이번 글에서는 먼저 파도아의 부등식을 증명하고 이 부등식을 바탕으로 오일러의 부등식을 이끌어낼 것이다.

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파도아의 부등식(Padoa's Inequality)

정리. 파도아의 부등식(Padoa's Inequality)

삼각형 $ABC$의 세 변 $a,b,c$에 대하여 다음 부등식이 성립한다. $$abc\ge (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)$$ 위 부등식의 등호는 $a=b=c$, 즉, 삼각형 $ABC$가 정삼각형일 때 성립한다.

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증명. 삼각형 $ABC$에 내점원을 그리고, 길이 $x,y,z$를 아래 그림과 같이 정의하자.

그러면 $a=y+z$, $b=x+z$, $c=x+y$이 성립한다. 따라서 산술기하평균 부등식에 의해, $$\begin{array}{rl}abc& =(y+z)(z+x)(x+y)\\ & \ge (2\sqrt{\phantom{b}yz})(2\sqrt{\phantom{b}zx})(2\sqrt{\phantom{b}xy})\\ \text{(1)}& & =8xyz\end{array}$$ 를 얻는다. 위 부등식 $(1)$의 등호 조건은 $x=y=z$이고, 이를 정리하면 $a=b=c$임을 확인하자. 이제 $x,y,z$를 $a,b,c$에 대하여 정리하면, $$x=\frac{b+c-a}{2},y=\frac{a+c-b}{2},z=\frac{a+b-c}{2}$$ 이고, 이를 부등식 $(1)$에 대입하면 파도아의 부등식을 얻는다..

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파도아의 부등식은 임의의 양수 $a,b,c$에 대한 부등식으로 확장할 수 있다.

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따름정리.

세 양수 $a,b,c>0$에 대하여 다음 부등식이 성립한다. $$abc\ge (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)$$ 위 부등식의 등호는 $a=b=c$일 때 성립한다.

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증명. 일반성을 잃지 않고 $a=max\{a,b,c\}$를 가정하자. 그러면 $a\ge b$, $a\ge c$이므로 $$\begin{array}{rl}a+c-b& \ge b+c-b=c>0\\ a+b-c& \ge c+b-c=b>0\end{array}$$ 임을 알 수 있다. 따라서 $b+c-a\le 0$인 경우, $$(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)\le 0<abc$$ 를 얻는다. 또한 $b+c-a>0$인 경우에는, $a,b,c$가 삼각형의 세 변을 이룸을 알 수 있다. 따라서 파도아의 부등식에 의해 주어진 부등식이 성립한다..

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오일러의 부등식(Euler's inequality)

정리. 오일러의 부등식(Euler's inequality)

삼각형 $ABC$의 내접원과 외접원의 반지름을 각각 $r,R$이라 하면, 다음의 부등식이 성립한다. $$R\ge 2r$$

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증명. 삼각형 $ABC$의 넓이를 $K$로 나타내자. 그러면 사인 법칙에 의해 $$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$$ 이 성립한다. 따라서 $$\begin{array}{}\text{(2)}& K=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}ab\cdot \frac{c}{2R}=\frac{abc}{4R}\end{array}$$ 를 얻는다. 한 편, $K=\frac{r}{2}(a+b+c)$가 성립하는데, 이를 헤론의 공식(Heron's formula)에 대입하면 $$\begin{array}{rl}{K}^2& =\frac{1}{16}(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)\\ \text{(3)}& & =\frac{K}{8r}(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)\end{array}$$ 그러므로 $(2)$와 $(3)$을 파도아의 부등식에 대입하면 $4KR\ge 8Kr$이고, 이를 정리하면 오일러의 부등식 $R\ge 2r$을 얻는다..

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참고. 위 증명을 역순으로 따라가 보면, 파도아의 부등식과 오일러의 부등식이 사실은 서로 동치임을 확인할 수 있다.

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오일러의 부등식 $R\ge 2r$은 사실 기하학에서의 오일러의 정리(Euler's theorem)의 따름정리로써 얻을 수 있다. 오일러의 정리는 삼각형 $ABC$의 내접원과 외접원의 반지름 $r,R$, 그리고 이 두 점 사이의 거리 $d$ 사이에 성립하는 관계를 설명해 준다.

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정리. 기하학에서의 오일러의 정리

삼각형 $ABC$의 내접원과 외접원의 반지름을 각각 $r,R$이라 하고, 이 두 점 사이의 거리를 $d$라 하자. 그러면 다음의 등식이 성립한다. $$d^2=R(R-2r)$$

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증명. 다음 그림과 같이 보조선을 그리자.

먼저 각 $BAR$과 각 $BSR$은 모두 호 $BR$에 대한 원주각이므로 $\mathrm{\angle }BAR=\mathrm{\angle }BSR$을 얻는다. 따라서 삼각형 $BAR$과 $BSR$은 닮음이다. 그러므로 $$\frac{\overline{MI}}{\overline{BR}}=\frac{\overline{AI}}{\overline{SR}}⟺\overline{MI}\cdot \overline{SR}=\overline{AI}\cdot \overline{BR}$$ 을 얻는다. 여기서 $\overline{MI}=r$이고 $\overline{SR}=2R$임을 확인하자.

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한 편, 각 $BIR$은 삼각형 $AIB$의 한 외각이므로 $\mathrm{\angle }BIR=\alpha +\beta$이다. 또한 $\mathrm{\angle }RBC=\mathrm{\angle }RAC=\alpha$이므로 $\mathrm{\angle }IBR=\alpha +\beta$이다. 따라서 $\mathrm{\angle }BIR=\mathrm{\angle }IBR$이므로 삼각형 $BIR$은 이등변 삼각형임을 알 수 있다. 즉, $\overline{BR}=\overline{IR}$이다. 마지막으로 선분 $AR$과 선분 $PQ$는 점 $I$를 지나는 두 현이므로 $\overline{AI}\cdot \overline{IR}=\overline{PI}\cdot \overline{IQ}$이다. 여기서 $\overline{PI}=R-d$이고 $\overline{IQ}=R+d$이므로, 이 사실들을 모두 종합하면 $$2Rr=\overline{MI}\cdot \overline{SR}=\overline{AI}\cdot \overline{BR}=\overline{AI}\cdot \overline{IR}=\overline{PI}\cdot \overline{IQ}=(R-d)(R+d)$$ 위 식을 정리하면 $d^2=R(R-2r)$를 얻고 증명이 완료된다..