'Algebra/Abstract Algebra'에 해당되는 글 17건

무리수를 보존하는 이항연산(binary operation)
짝수와 짝수의 합은 언제나 짝수이고 짝수와 홀수의 합은 언제나 홀수이다. 이와 비슷하게, 유리수와 유리수의 합은 언제나 유리수이지만 유리수와 무리수의 합은 언제나 무리수가 된다. 따라서 '짝수와 유리수가 무언가 유사한 수학적 구조를 갖는 것은 아닐까' 하는 짐작을 해 볼 수 있다. 하지만 홀수와 홀수의 합은 언제나 짝수가 되는 반면, 다음과 같이 무리수와 무리수의 합은 유리수일 수도 무리수일 수도 있다. \[ \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \in \Q^c, \quad \sqrt{2} + (1-\sqrt{2}) = 2 \in \Q \] 이러한 근본적인 차이가 발생하게 되는 이유는 무엇일까? 또한 무리수와 무리수를 연산했을 때, 반드시 무리수가 나오는 연산이 존재할까? 이번 글에서..
Algebra/Abstract Algebra  |  2020. 4. 16. 17:18
순서체(ordered field)에 대하여
$F$가 임의의 체(field)하 하자. 그러면 다음 두 주건을 만족하는 집합 $P \subseteq F$를 체 $F$의 순서라 한다. [O1] 임의의 원소 $a \in F$에 대하여, $a \in P$, $a = 0$, 또는 $-a \in P$ 중 오직 한가지 경우만을 만족한다. 즉, $F$를 집합 $P$, $\{0\}$, $-P$의 분리합집합(disjoint union)으로 나타낼 수 있다. [O2] 만약 $a,\,b \in P$이면, $a+b \in P$이고 $ab \in P$이다. 체 $F$에 위 두 조건을 만족하는 집합 $P$가 존재할 때, $(F,\, P)$를 순서체(ordered field)라 하고 집합 $P$의 원소를 양의 원소(positive element), 집합 $-P$의 원소를 음의..
Algebra/Abstract Algebra  |  2017. 9. 19. 05:34
사원수(Quaternion)에 대하여 - 6. 사원수와 회전변환 (작성중)
작성중...
Algebra/Abstract Algebra  |  2016. 7. 15. 06:55
사원수(Quaternion)에 대하여 - 5. 사원수의 곱셈
사원수(Quaternion)의 곱셈 이제까지 사원수의(quaternion)의 곱셈이 아래의 식 \[ \begin{aligned} (a_1,\,b_1,\,c_1,\,d_1) &\times (a_2,\,b_2,\,c_2,\,d_2) \\ &= (a_1a_2 - b_1b_2 - c_1c_2 - d_1d_2,\, a_1b_2 + b_1a_2 + c_1d_2 - d_1c_2, \\ & \qquad a_1c_2 - b_1d_2 + c_1a_2 + d_1b_2,\, a_1d_2 + b_1c_2 - c_1b_2 + d_1a_2) \end{aligned} \] 으로 정의된 이유와 그 과정에 대해 살펴 보았다. 하지만 이유와 과정을 알고 이해했다고 하더라도 위의 곱셈을 실제로 외워서 적용하기는 어려운 것이 사실이다. 이번..
Algebra/Abstract Algebra  |  2016. 7. 15. 06:27
사원수(Quaternion)에 대하여 - 4. 사중쌍(quadruple)과 사원수(Quaternion)
사중쌍(quadruple)과 사원수(Quaternion) 삼중쌍(triple)에 대한 실패를 바탕으로 해밀턴은 사중쌍(quadruple)과 사중쌍의 사칙연산에 대한 연구를 시작하였다. 우선 해밀턴은 사중쌍 $(a,\,b,\,c,\,d) = a + bi + cj + dk$에 사칙연산에 대한 법칙 $i^2 = j^2 = -1$, $ij=-ji=k$은 그대로 유지한 채 아직 미지인 관곗값 $ik$, $ki$, $jk$, $kj$, 그리고 $k^2$의 값을 찾고자 하였다. 그리고 마침내 1843년 10월 16일 해밀턴은 사중쌍의 사칙연산에 대한 기본법칙을 발견하고 이를 더블린의 로열 운하 위를 지나는 브로엄 다리(Brougham Bridge) 위에 새겨 놓게 된다.\[ i^2= k^2 = k^2 = ijk = ..
Algebra/Abstract Algebra  |  2016. 6. 30. 07:24
사원수(Quaternion)에 대하여 - 3. 삼중쌍(triple)의 실패
3. 삼중쌍(triple)의 실패해밀턴은 우선 삼중쌍(triple)을 아래와 같이 이중쌍(couple)으로써 자연스럽게 정의하였다. \[ (a,\,b,\,c), \quad a,\,b,\,c \in \R. \] 그 다음 삼중쌍들 사이의 사칙연산을 잘 정의하여, 실수의 사칙연산과 이중쌍의 사칙연산이 삼중쌍의 사칙연산으로 자연스럽게 확장되게 하고, 이중쌍이 기하학적으로 이차원의 점을 표현하듯이 삼중쌍 또한 삼차원의 점을 표현 해주길 기대하였다. 먼저 해밀턴은 삼중쌍의 덧셈과 뺄셈, 상수배, 그리고 크기를 이중쌍의 자연스러운 확장으로써 아래와 같이 정의하였다. \[ \begin{aligned} (a_1,\,b_1,\,c_1) \pm (a_2,\,b_2,\,c_2) &= (a_1 \pm a_2,\, b_1 \pm..
Algebra/Abstract Algebra  |  2016. 6. 29. 00:10
사원수(Quaternion)에 대하여 - 1. 소개 2. 복소수와 복소수의 성질
1. 소개수학의 모든 위대한 발견들은 당대의 천재들의 번뜩이는 영감에 의해서 어느날 갑자기 이루어지는 것이 아니다. 선대의 수많은 수학자들이 앞서 발견하고 정리해 온 수학적 토대 위에 적게는 수개월에서 많게는 수십년에 이르는 끊임 없는 사색과 연구를 통해야만 비로소 하나의 수학적 사실이 밝혀 지는 것이다. 하지만 이 수학적 발견이 어떠한 노력에 의해서 밝혀 졌는지 그 고된 과정을 후대에 알기란 쉽지 않다. 보통 수학자들이 그들의 발견을 공표할 때에는, 그 발견이 있기까지의 고된 과정을 설명하기 보다는 그 결과만을 가능한 간결하게 서술하고 증명하려는 경향이 있기 때문이다. 이러한 과점에 있어서 해밀턴과 그가 발견한 사원수에 대한 연구는 후대에 사람들에서 굉장히 귀중한 사료가 된다. 해밀턴의 시대에는 수학자..
Algebra/Abstract Algebra  |  2016. 6. 28. 23:50
환(ring)에서 체(field)까지 - 7. 유한체(finite field)
유한체(Finite field) 유한체(finite field)는 대수적 구조(algebraic structure)에 따라 완벽히 분류할 수 있는 몇 안되는 예 중에 하나이다. 이전 절에서 유한체를 구성하는 방법 중 한가지를 살펴 보았다. 정리 7.1 주어진 소수 $p$에 대하여, $f(x)$가 차수(degree)가 $k$인 $\Z_p[x]$의 기약다항식(irreducible polynomial)이라 하자. 그러면 $\Z_p[x]/ \langle f(x) \rangle$는 위수(order)가 $p^k$인 체가 된다. 증명. 주어진 다항식이 기약이므로 이 다항식은 더 작은 차수를 가진 다항식들의 곱으로 표현할 수 없다. 이제 이전 절에서 살펴 보았듯이 $\Z_p[x]/ \langle f(x) \rangle..
Algebra/Abstract Algebra  |  2016. 5. 24. 07:24
환(ring)에서 체(field)까지 - 6. 몫환(Quotient ring)과 동형정리(isomorphism theorem)들
몫환(Quotient ring)과 동형정리(isomorphism theorem)들 정의 6.1 $I$를 환(ring) $R$의 아이디얼(ideal)이라 하고 $a \in R$라 하자. 그럼 $a$가 속하는 $I$의 잉여류(coset)란 $a + I = \set{a + s}{s \in I}$와 같은 형태의 집합을 말한다. 모든 잉여류들의 집합을 몫환(quotient ring)이라 하고 $R/I$와 같이 나타낸다. 참고. 이 정의는 군 이론에서의 잉여류의 정의와 같다. 군 이론에서의 경우와 같이, 잉여류들은 환의 서로소인 부분집합을 이룬다. 원소 $a$는 잉여류의 잉여류 대표원소(coset representative)라 한다. 각각의 잉여류들은 다양한 잉여류 대표원소를 가질 수 있다. 이 때, 두 원소 $a..
Algebra/Abstract Algebra  |  2016. 5. 21. 02:21
환(ring)에서 체(field)까지 - 5. 환준동형사상(ring homomorphism)과 환동형사상(ring isomorphism)
환준동형사상(ring homomorphism)과 환동형사상(ring isomorphism) 이번에는 덧셈과 곱셈 연산을 보존하는 환에서 환으로의 사상(map)에 대해서 알아보도록 하자. 정의 5.1 $R$, $S$를 두 환(ring)이라 하자. 사상(map) $f : R \to S$이 임의의 $x,\, y \in R$에 대하여 \[ f(x + y) = f(x) + f(y), \quad f(xy) = f(x)f(y), \quad f(1_R) = 1_S \] 를 만족하면 이 사상을 환준동형사상(ring homomorphism)이라 한다. 참고. 이때 좌변의 덧셈 곱셈은 $R$에서, 우변의 덧셈 곱셈은 $S$에서 이루어진다. 모든 환준동형사상은 $(R,\, +)$에서 $(S,\, +)$로의 군준동형사상(gro..
Algebra/Abstract Algebra  |  2016. 5. 18. 12:26

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