사원수(Quaternion)에 대하여 - 5. 사원수의 곱셈

written by jjycjn 2016. 7. 15. 06:27

사원수(Quaternion)의 곱셈

이제까지 사원수의(quaternion)의 곱셈이 아래의 식

\begin{aligned} (a_{1}, b_{1}, c_{1}, d_{1}) & \times (a_{2}, b_{2}, c_{2}, d_{2}) \\ = (a_{1} a_{2} - b_{1} b_{2} - c_{1} c_{2} - d_{1} d_{2}, a_{1} b_{2} + b_{1} a_{2} + c_{1} d_{2} - d_{1} c_{2}, \\ a_{1} c_{2} - b_{1} d_{2} + c_{1} a_{2} + d_{1} b_{2}, a_{1} d_{2} + b_{1} c_{2} - c_{1} b_{2} + d_{1} a_{2}) \end{aligned}

으로 정의된 이유와 그 과정에 대해 살펴 보았다. 하지만 이유와 과정을 알고 이해했다고 하더라도 위의 곱셈을 실제로 외워서 적용하기는 어려운 것이 사실이다. 이번에는 두 사원수를 곱하는 여러가지 방법에 대하여 생각해 보도록 하자.

1. 해밀턴의 연산규칙을 이용한 방법

첫번째 방법은 주어진 사원수 $q_{1} = a_{1} + b_{1} i + c_{1} j + d_{1} k$ , $q_{2} = a_{2} + b_{2} i + c_{2} j + d_{2} k$ 를 실수의 곱셈법칙을 이용하여 곱셈을 계산하되 각 단위 $i, j, k$ 들의 곱에 대해서는 규칙

i^{2} = j^{2} = k^{2} = i j k = - 1

을 이용하는 것이다. 이 때 위 규칙으로부터 더 세분화된 규칙인

i j = - j i = k, j k = - k j = i, k i = - i k = j

를 얻을 수 있다. 예를 들어, $i j = k$ 의 경우, $- 1 = i j k$ 의 양변의 오른쪽에 $k$ 를 곱하여 $- k = (i j k) k = i j k^{2}$ 를 얻고 $k^{2} = - 1$ 을 이용하여 $- k = - i j$ , 양변에 $- 1$ 을 곱해주어 $k = i j$ 를 얻을 수 있다. 나머지도 비슷한 방법으로 간단히 증명이 가능하다.

[예제] 두 사원수 $q_{1} = 1 - i + 2 j - k$ 의 $q_{2} = 2 - i - 2 j + 3 k$ 의 곱을 위의 연산규칙을 이용하여 구해보자.

\begin{aligned} q_{1} \times q_{2} & = (1 - i + 2 j - k) \times (2 - i - 2 j + 3 k) \\ = 2 - i - 2 j + 3 k - 2 i + i^{2} + 2 i j - 3 i k + 4 j - 2 j i - 4 j^{2} + 6 j k - 2 k + k i + 2 k j - 3 k^{2} \\ = 2 - i - 2 j + 3 k - 2 i - 1 + 2 k + 3 j + 4 j + 2 k + 4 + 6 i - 2 k + j - 2 i + 3 \\ = 8 + i + 6 j + 5 k \end{aligned}

2. 벡터의 내적과 외적을 이용한 방법

주어진 사원수 $v = a + b i + c j + d k$ 에 대하여, $a$ 를 사원수의 스칼라부(scalar part), $b i + c j + d k$ 를 사원수의 벡터부(vector part)라 부른다. 따라서 임의의 사원수 $q$ 는 1차원 스칼라와 3차원 벡터의 순서쌍 $q = (s, \vec{v})$ 로 나타낼 수 있다. 이제 3차원 벡터의 내적(inner product)와 외적(cross product)을 이용하여 주어진 두 사원수의 곱을 아래와 같이 나타낼 수 있다.

q_{1} \times q_{2} = (s_{1}, {\vec{v}}_{1}) \times (s_{2}, {\vec{v}}_{2}) = (s_{1} s_{2} - {\vec{v}}_{1} \cdot {\vec{v}}_{2}, s_{1} {\vec{v}}_{2} + s_{2} {\vec{v}}_{1} + {\vec{v}}_{1} \times {\vec{v}}_{2})

[예제] 두 사원수 $q_{1} = 1 - i + 2 j - k$ 와 $q_{2} = 2 - i - 2 j + 3 k$ 의 곱을 벡터의 내적과 외적을 이용하여 구해보자. 이제 ${\vec{v}}_{1} = (- 1, 2, - 1)$ , ${\vec{v}}_{2} = (- 1, - 2, 3)$ 으로 두고 ${\vec{v}}_{1}$ 과 ${\vec{v}}_{2}$ 의 내적과 외적을 각각 구하면, ${\vec{v}}_{1} \cdot {\vec{v}}_{2} = - 6$ , ${\vec{v}}_{1} \times {\vec{v}}_{2} = (4, 4, 4)$ 를 얻는다. 따라서

\begin{aligned} q_{1} \times q_{2} & \to (1, (- 1, 2, - 1)) \times (2, (- 1, - 2, 3)) \\ = (2 - (- 6), (- 1, - 2, 3) + 2 (- 1, 2, - 1) + (4, 4, 4)) \\ = (8, (1, 6, 5)) \\ \to 8 + i + 6 j + 5 k \end{aligned}

3. $2 \times 2$ 복소행렬을 이용한 방법

다음으로는 행렬 표현을 이용한 두 사원수의 곱셈에 대하여 알아보자. 임의의 복소수 $a + b i$ 를 $2 \times 2$ 실행렬(real matrix)를 이용하여,

a + b i ⟷ [\begin{array}{rr} a & b \\ - b & a \end{array}]

와 같이 나타낼 수 있듯이 임의의 사원수 $q = a + b i + c j + d k$ 는 $2 \times 2$ 복소행렬(complex matrix)를 이용하여 아래와 같이 나타낼 수 있다.

a + b i + c j + d k ⟷ [\begin{array}{rr} a + b i & c + d i \\ - c + d i & a - b i \end{array}]

이제 두 사원수의 곱은 각각의 사원수를 복소행렬로 변환한 후에 복소행렬의 곱을 계산한 후, 곱의 결과로써 나온 복소행렬을 다시 사원수로 변환하여 구할 수 있다.

[예제] 두 사원수 $q_{1} = 1 - i + 2 j - k$ 와 $q_{2} = 2 - i - 2 j + 3 k$ 의 곱을 $2 \times 2$ 복소행렬의 곱을 이용하여 구해보자.

\begin{aligned} q_{1} \times q_{2} & \to [\begin{array}{rr} 1 - i & 2 - i \\ - 2 - i & 1 + i \end{array}] [\begin{array}{rr} 2 - i & - 2 + 3 i \\ 2 + 3 i & 2 + i \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} (1 - i) (2 - i) + (2 - i) (2 + 3 i) & (1 - i) (- 2 + 3 i) + (2 - i) (2 + i) \\ (- 2 - i) (2 - i) + (1 + i) (2 + 3 i) & (- 2 - i) (- 2 + 3 i) + (1 + i) (2 + i) \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} 8 + i & 6 + 5 i \\ - 6 + 5 i & 8 - i \end{array}] \\ \to 8 + i + 6 j + 5 k \end{aligned}

실제로 $2 \times 2$ 복소행렬로부터 사원수를 복원할 때에는 복소행렬의 첫번째 행만 알아도 충분하므로 계산과정을 많이 줄일 수 있다.

4. $4 \times 4$ 실행렬을 이용한 방법

임의의 사원수 $q = a + b i + c j + d k$ 를 $4 \times 4$ 실행렬(real matrix)로 변환하여 곱셈을 계산하는 방법도 있다. 주어진 사원수를 $4 \times 4$ 실행렬(real matrix)로 변환하는 방법은 총 48가지가 존재하는데, 그 중 하나는 아래와 같다.

a + b i + c j + d k ⟷ [\begin{array}{rrrr} a & b & c & d \\ - b & a & - d & c \\ - c & d & a & - b \\ - d & - c & b & a \end{array}]

언뜻 보면 주어진 사원수를 괜히 더 복잡하게 표현한 것 같지만

\begin{aligned} E = [\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}], & I = [\begin{array}{rrrr} 0 & 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}], \\ J = [\begin{array}{rrrr} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \end{array}], & K = [\begin{array}{rrrr} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}] . \end{aligned}

로 정의하면, 사원수 $q = a + b i + c j + d k$ 를 $a E + b I + c J + d K$ 로 변환한 것과 같다. 이제 두 사원수의 곱은 각각의 사원수를 실행렬로 변환한 후에 실행렬의 곱을 계산한 후, 곱의 결과로써 나온 실행렬을 다시 사원수로 변환하여 구할 수 있다.

[예제] 두 사원수 $q_{1} = 1 - i + 2 j - k$ 와 $q_{2} = 2 - i - 2 j + 3 k$ 의 곱을 $4 \times 4$ 실행렬의 곱을 이용하여 구해보자.

\begin{aligned} q_{1} \times q_{2} & \to [\begin{array}{rrrr} 1 & - 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \\ - 2 & - 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 2 & - 1 & 1 \end{array}] [\begin{array}{rrrr} 2 & - 1 & - 2 & 3 \\ 1 & 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 3 & 2 & 1 \\ - 3 & 2 & - 1 & 2 \end{array}] \\ = [\begin{array}{rrrr} 8 & 1 & 6 & 5 \\ - 1 & 8 & - 5 & 6 \\ - 6 & 5 & 8 & - 1 \\ - 5 & - 6 & 1 & 8 \end{array}] \\ \to 8 + i + 6 j + 5 k \end{aligned}

실제로는 $4 \times 4$ 실행렬의 첫번째 행만 알아도 원하는 사원수를 충분히 복원 가능하므로 계산과정을 상당히 많이 줄일 수 있다.

5. 케일리-딕슨 구성을 이용한 방법

또한 앞에서 살펴본 케일리-딕슨 구성(Cayley-Dickson construction)을 이용하여 사원수의 곱을 계산할 수도 있다. 사원수의 대수체계는 복소수의 대수체계를 케일리-딕슨 구성을 이용하여 확장한 것으로 생각할 수 있다. 이 사실을 이용하여 주어진 $q = a + b i + c j + d k$ 를 두 복소수 $u = a + b i$ , $v = c + d i$ 를 정의하여 복소수의 순서쌍 $(u, v)$ 로 나타내고, 케일리-딕슨 구성에서의 곱셈 법칙

(u_{1}, v_{1}) \times (u_{2}, v_{2}) = (u_{1} u_{2} - v_{2}^{*} v_{1}, v_{2} u_{1} + v_{1} u_{2}^{*})

를 이용하여 계산할 수 있다.

[예제] 두 사원수 $q_{1} = 1 - i + 2 j - k$ 와 $q_{2} = 2 - i - 2 j + 3 k$ 의 곱을 케일리-딕슨 구성을 이용하여 구해보자. 먼저 $u_{1} = 1 - i$ , $v_{1} = 2 - i$ , $u_{2} = 2 - i$ , $v_{2} = - 2 + 3 i$ 라 하면,

\begin{aligned} q_{1} \times q_{2} & \to (1 - i, 2 - i) \times (2 - i, - 2 + 3 i) \\ = ((1 - i) (2 - i) - (- 2 + 3 i)^{*} (2 - i), (- 2 + 3 i) (1 - i) + (2 - i) (2 - i)^{*}) \\ = ((1 - i) (2 - i) - (- 2 - 3 i) (2 - i), (- 2 + 3 i) (1 - i) + (2 - i) (2 + i)) \\ = (8 + i, 6 + 5 i) \\ \to 8 + i + 6 j + 5 k \end{aligned}

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