순서체(ordered field)에 대하여

$F$가 임의의 체(field)하 하자. 그러면 다음 두 주건을 만족하는 집합 $P\subseteq F$를 체 $F$의 순서라 한다.

1. [O1] 임의의 원소 $a\in F$에 대하여, $a\in P$, $a=0$, 또는 $-a\in P$ 중 오직 한가지 경우만을 만족한다. 즉, $F$를 집합 $P$, $\{0\}$, $-P$의 분리합집합(disjoint union)으로 나타낼 수 있다.
2. [O2] 만약 $a,b\in P$이면, $a+b\in P$이고 $ab\in P$이다.

체 $F$에 위 두 조건을 만족하는 집합 $P$가 존재할 때, $(F,P)$를 순서체(ordered field)라 하고 집합 $P$의 원소를 양의 원소(positive element), 집합 $-P$의 원소를 음의 원소(negative element)라 한다.

예를 들어 $F=\mathbb{R}$일 때, $P={\mathbb{R}}_{+}^{\ast }=\left\{x\in \mathbb{R}\right|x>0\}$으로 정의하면, $(\mathbb{R},{\mathbb{R}}_{+}^{\ast })$이 순서체임을 간단히 확인할 수 있다.[${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$의 정의에서 $x>0$ 자체가 순서관계를 이용한 것이므로, 순서체의 또 다른 정의를 이용해서 순서체를 정의한 것이긴 하지만, 일단은 넘어가도록 하자.] 

임의의 순서체 $(F,P)$에 대하여 다음의 성질이 성립함을 간단히 확인해 볼 수 있다.

1. $1\ne 0$이고 $1=1^2=(-1{)}^2$이므로, $1\in P$임을 알 수 있다.
2. 일반적으로 $0$이 아닌 제곱 원소(square element)들은 언제나 $P$에 속한다: 임의의 $a\ne 0$에 대하여 $a\in P$이거나 $-a\in P$여야만 하는데, 어느 경우든지 $a^2=(-a{)}^2$라는 사실로 부터 $a^2\in P$가 되기 때문이다. 따라서 $$\left\{a^2\right|a\in F\}\subseteq P$$임을 알 수 있다. [하지만 이 포함관계의 역은 성립하지 않는다. 예제 1을 참고하자.]
3. 유한순서체(finite ordered field)는 존재하지 않는다: 만약 표수(characteristic)가 $p$인 유한순서체 $(F,P)$가 존재한다고 가정해 보자. 이제 $1\in P$라는 사실로부터$$0=p=\underset{p\text{-times}}{\underbrace{1+1+\cdots +1}}\in P$$가 되어 $P$의 정의에 모순이다.

그렇다면 어떤 체 $F$의 표수가 $0$이라면 (즉, 무한체라면) 언제나 $F$를 순서체가 되게 하는 집합 $P$를 찾을 수 있을까? 이 질문에 대한 답을 위하여 아래 두 예제를 살펴보자.

예제 1. $F=\mathbb{Q}$라 하자. 만약 $P={\mathbb{Q}}_{+}^{\ast }$로 정의하면, $(\mathbb{Q},{\mathbb{Q}}_{+}^{\ast })$는 순서체가 됨을 간단히 확인 할 수 있다. 

1. $2\in {\mathbb{Q}}_{+}^{\ast }$이지만, $x^2=2$를 만족하는 $x\in \mathbb{Q}$는 존재하지 않는다. 따라서 순서체 $(F,P)$에 대하여 일반적으로 $P=\left\{a^2\right|a\in F\}$는 성립하지 않음을 알 수 있다.
2. 순서체 $(\mathbb{Q},{\mathbb{Q}}_{+}^{\ast })$는 체 $\mathbb{Q}$ 위에서 정의되는 유일한 순서체이다: 만약 $(\mathbb{Q},P)$가 순서체라고 해보자. 먼저 $1\in P$이므로 수학적 귀납법을 이용하여 임의의 자연수 $n\in \mathbb{N}$에 대하여 $\mathbb{N}\subseteq P$임을 보일 수 있다. 또한 (모든 제곱 원소는 $P$에 속하므로) $\frac{1}{n^2}\in P$이다. 따라서 임의의 양의 정수 $n>0$에 대하여$$\frac{1}{n}=n\cdot \frac{1}{n^2}\in P$$를 얻는다. 그러므로 임의의 양의 정수 $m,n>0$에 대하여$$\frac{m}{n}=m\cdot \frac{1}{n}\in P$$이고 ${\mathbb{Q}}_{+}^{\ast }\subseteq P$임을 알 수 있다. 이제 $0\ne q\in P\setminus {\mathbb{Q}}_{+}^{\ast }$가 존재한다고 가정해 보자. 그러면 $q\notin {\mathbb{Q}}_{+}^{\ast }$이므로 $-q\in {\mathbb{Q}}_{+}^{\ast }\subseteq P$이다. 하지만 이 경우 $0=q+(-q)\in P$가 되어 모순이 생긴다. 따라서 $P={\mathbb{Q}}_{+}^{\ast }$여야만 함을 알 수 있다.

예제 2. $F=\mathbb{C}$는 순서체가 될 수 없다. 만약 순서체 $(\mathbb{C},P)$가 존재한다고 가정해 보자. 우선 $i\ne 0$임은 자명하다. 이제 $i\in P$가 가정해 보자. 그러면 $-1=i^2\in P$이고 $1=i^4\in P$를 얻는다. 하지만 이 경우 $0=1+(-1)\in P$가 되어 모순이 발생한다. 따라서 $-i\in P$일 수 밖에 없는데, 이 경우에도 비슷한 이유로 모순이 발생한다. 그러므로 $\mathbb{C}$가 순서체가 되게 하는 $P$는 존재하지 않음을 알 수 있다.

따라서 예제 2에 대하여, 순서체가 될 수 없는 무한체 $F$가 존재함을 알 수 있다. 마지막으로 $(F,P)$가 순서체인 경우, 집합 $P$는 유일한가에 대한 질문에 대해 생각해 볼 수 있다. 다음의 예를 살펴보자.

예제 3. $F=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$라 하자. 이제 $P=\mathbb{Q}(\sqrt{2})\cap {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$으로 정의하면, 즉,

$$P=\left\{a+b\sqrt{2}\right|a,b\in \mathbb{Q},a+b\sqrt{2}\in {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }\}$$

그러면 $(\mathbb{Q}(\sqrt{2}),P)$은 순서체가 됨을 어렵지 않게 보일 수 있다. 이제 함수

$$\varphi :\mathbb{Q}\sqrt{2}\to \mathbb{Q}\sqrt{2},a+b\sqrt{2}\mapsto a-b\sqrt{2}$$

는 $\mathbb{Q}\sqrt{2}$에서 자기 자신으로 가는 체동형사상(field isomorphism)이다. 이제 집합 $\bar{P}$를 다음과 같이 정의하자.

$$\begin{array}{rl}\bar{P}& ={\varphi }^{-1}(P)\\ & =\left\{a+b\sqrt{2}\right|a,b\in \mathbb{Q},a-b\sqrt{2}\in {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }\}\end{array}$$

자명하게 $P\ne \bar{P}$이다. 

이제 $\mathbb{Q}(\sqrt{2}),\bar{P})$가 순서체임을 보여보자. 우선 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$가 $overlineP$, $\{0\}$, $-overlineP$의 분리합집합으로 표현할 수 있음을 간단히 보일 수 있다. 또한

$$\begin{array}{rl}\bar{P}+\bar{P}& ={\varphi }^{-1}(P)+{\varphi }^{-1}(P)={\varphi }^{-1}(P+P)\subseteq {\varphi }^{-1}(P)=\bar{P}\\ \bar{P}\cdot \bar{P}& ={\varphi }^{-1}(P)\cdot {\varphi }^{-1}(P)={\varphi }^{-1}(P\cdot P)\subseteq {\varphi }^{-1}(P)=\bar{P}\end{array}$$

따라서 $\mathbb{Q}(\sqrt{2}),\bar{P})$는 순서체이다.

사실 체 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$를 순서체로 만드는 집합은 $P$와 $\bar{P}$가 유일함을 보일 수 있다. 좀 더 구체적으로, $\sqrt{2}$가 양의 원소가 되게 하는 순서체는 $(\mathbb{Q}(\sqrt{2})),P)$가 유일하고, 반대로 $\sqrt{2}$가 음의 원소가 되게 하는 순서체는 $(\mathbb{Q}(\sqrt{2})),\bar{P})$가 유일하다.