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Normed Space - 4. The Dual Space
4. The Dual Space 체 $\F$ 위의 두 노름공간(normed space) $V,\, W$에 대하여, \[ \begin{aligned} \mathcal{L}(V,\,W) &:= \set{L:V\to W}{\text{$L$ is linear and continuous}} \\ \mathcal{B}(V,\,W) &:= \set{L:V\to W}{\text{$L$ is linear and bounded}} \\ \end{aligned} \] 와 같이 두 공간을 정의하자. 우리는 앞서 $\mathcal{L}(V,\,W) = \mathcal{B}(V,\,W)$임을 살펴 보았다. 이제 임의의 $L,\, L_1,\, L_2 \in \mathcal{L}(V,\,W)$에 대하여, 다음과 같이 연산과 노름을 ..
Analysis/Functional Analysis  |  2016. 5. 2. 05:30
Normed Space - 2. Finite Dimensional Normed Space
2. Finite Dimensional Normed Linear Space $X$를 차원이 $n$인 노름공간(normed linear space)이라 하자. 또한 Let $B = \{e_1,\,\ldots,\,e_n\}$를 $X$의 기저(basis)라 하자. 원소 $x \in X$를 택하여 고정하면, $x_i \in \F$이 존재하여 \[ x = x_1e_1 + x_2e_2 + \cdots + x_ne_n. \] 이 성립한다. 이제, $\norm{\cdot}$를 $X$ 위에서 주어진 노름(norm)이라 하자. $X$ 위에서 $\norm{\cdot}_1$을 \[ \norm{x}_1 := \abs{x_1} +\abs{x_2} + \cdots + \abs{x_n}. \] 으로 정의하면, $\norm{\cdot..
Analysis/Functional Analysis  |  2016. 4. 30. 00:56
Normed Space - 1. Definitions and Examples
1. Definitions and Examples 임의의 실수 $x \in \R$에 대하여, $x$의 절댓값 $\abs{x}$는 $x$가 원점으로 부터 얼마나 떨어져 있는가, 혹은 $x$의 '크기'를 타나내는 함수이다. 이를 일반적인 벡터공간(vector space)로 확장한 개념이 노름(norm)이라는 개념이다. 먼저 노름의 정의부터 살펴보자. 정의 1.1.1 $X$를 체 $\F$ ($\R$ 또는 $\C$) 위의 벡터공간(vector space)라 하자. $X$ 위에서의 노름(norm)은 아래의 조건을 만족하는 함수 $\norm{\cdot} : X \to \R$이다. (1) 모든 $x \in X$에 대하여 $\norm{x} \geq 0$. (2) $\norm{x} = 0$이면, 그리고 그 때에만 $x ..
Analysis/Functional Analysis  |  2016. 4. 29. 23:30
여러가지 공간(Space) 사이의 포함관계
이전 포스트에서 여러가지 공간(space)에 대한 정의에 대해 살펴보았다. 이번 포스트에서는 각 공간들 사이에 포함관계에 대해서 알아보도록 한다. 실제로 수학에서 쓰이는 수학적 공간은 아래에 열거된 것 보다 훨씬 범위가 넓다. 예를 들어, 미분기하학에서 쓰이는 다양체(manifold)가 있고, 미분방적식을 다룰 때에 공간은 보통 소볼레프 공간(Sobolev space)을 의미한다. 측도론(measure theory)에서의 측도공간(measure space)도 수학적 공간의 한 예이며, 이의 특수한 경우인 확률공간(probability space)는 보통 통계학에서 다루어진다. 이 외에도 위상수학(general topology) 에서의 하우스도르프 공간(Hausdorff space), 정칙공간(regula..
Analysis/Real Analysis  |  2014. 7. 20. 04:41
여러가지 공간(Space)에 대한 정의
수학에서의 공간(Space)이란 집합에 어떠한 연산 혹은 구조를 부여한 것을 말한다. 수학의 모든 정의가 어떤 특정한 공간 위에서 이루어지고 어떠한 공간에서 성립하는 정의가 다른 공간에서는 성립하지 않는 경우가 많기 때문에, 지금 내가 다루고 있는 대상이 속해있는 공간을 우선적으로 파악하는 것이 중요하다. 이번 포스트에서는 다양한 공간의 정의에 대해서 다루어 보고자 한다. 1. 위상공간 (Topological Space) 집합 \(X\)가 있다고 하자. 위상공간(Topological Space) \( \left( X, \mathcal{T} \right) \) 란 집합 \(X\)와 다음의 조건을 만족하는 \(X\)의 부분집합들의 모임 \( \mathcal{T} \)를 말한다. (1) 공집합(empty se..
Analysis/Real Analysis  |  2014. 7. 19. 11:49

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