Normed Space - 2. Finite Dimensional Normed Space

2. Finite Dimensional Normed Linear Space

$X$를 차원이 $n$인 노름공간(normed linear space)이라 하자. 또한 Let $B=\{e_1,\dots ,e_n\}$를 $X$의 기저(basis)라 하자. 원소 $x\in X$를 택하여 고정하면, $x_i\in \text{F}$이 존재하여 

$$x=x_1{e}_1+x_2{e}_2+\cdots +x_n{e}_n.$$

이 성립한다. 이제, $\Vert \cdot \Vert$를 $X$ 위에서 주어진 노름(norm)이라 하자. $X$ 위에서 ${\Vert \cdot \Vert }_1$을

$${\Vert x\Vert }_1:=\left|x_1\right|+\left|x_2\right|+\cdots +\left|x_n\right|.$$

으로 정의하면, ${\Vert \cdot \Vert }_1$이 $X$ 위에서의 노름이 됨을 알 수 있다. 또한,

$$\begin{array}{rl}\Vert x\Vert & =\Vert x_1{e}_1+x_2{e}_2+\cdots +x_n{e}_n\Vert \\ & \le \sum _{i=1}^n\left|x_i\right|\Vert e_i\Vert \\ & \le M\sum _{i=1}^n\left|x_i\right|,\text{where }M=\underset{i}{max}\Vert e_i\Vert \\ & =M{\Vert x\Vert }_1.\end{array}$$

따라서, $M\in \mathbb{R}$이 존재하여 $\Vert x\Vert \le M{\Vert x\Vert }_1$이 성립한다.

이제 $m\in \mathbb{R}$이 존재하여 $m{\Vert x\Vert }_1\le \Vert x\Vert$임을 보이고자 한다. 먼저 집합

$$\mathrm{\Delta }:=\left\{u\in \text{Rn}\right|{\Vert u\Vert }_1=1\}$$

을 정의한다. 집합 $\mathrm{\Delta }$는 ${\mathbb{R}}^n$에서 닫혀 있고 유계(closed and bounded)이므로, 하이네-보렐 정리(Heine-Borel Theorem)에

^[각주:1] 의해 콤팩트 집합이다. 이제 함수 $f:\mathrm{\Delta }\to \mathbb{R}$를

$$f((u_1,\dots ,u_n))=\Vert u_1{e}_1+\cdots +u_n{e}_n\Vert$$

와 같이 정의하자 그러면 $f$는 $\mathrm{\Delta }$에서 연속임을 어렵지 않게 보일 수 있다. 이제 최대 최소 정리(Extreme Value Theorem)를

^[각주:2] 통해 $m=\underset{u\in \mathrm{\Delta }}{min}f(u)$을 정의할 수 있다. 우선 $m\ge 0$임을 알 수 있다. 하지만 $m=0$인 경우, 어떤 $\text{mybar}u\in \mathrm{\Delta }$에 대하여 $0=m=f(\text{mybar}u)$이 되는데,

$$0=f(\text{mybar}u)=\Vert \text{mybar}{u}_1{e}_1+\cdots +\text{mybar}{u}_1{e}_1\Vert$$

이므로 반드시 $\text{mybar}u=0$이여만 한다. 하지만 이는 $\text{mybar}u\in \mathrm{\Delta }$이라는 사실에 모순이다.

이제 우리는 다음이 성립함을 보였다.

$$0<m\le \Vert \sum _{i=1}^n{u}_i{e}_i\Vert \text{for all }u\in \mathrm{\Delta }.$$

임의의 $x\in X$에 대하여, $x=x_1{e}_1+\cdots +x_n{e}_n$로 나타내자. 만약 $x=0$인 경우는, 자명하게 $m{\Vert x\Vert }_1=0=\Vert x\Vert$를 얻는다. 따라서 $x\ne 0$이라 가정하면

$$\frac{(x_1,\dots ,x_n)}{{\Vert x\Vert }_1}\in \mathrm{\Delta }.$$

그러므로 다음을 얻는다.

$$m\le \Vert \sum _{i=1}^n\frac{x_i}{{\Vert x\Vert }_1}{e}_i\Vert =\frac{1}{{\Vert x\Vert }_1}\Vert \sum _{i=1}^n{x}_i{e}_i\Vert =\frac{\Vert x\Vert }{{\Vert x\Vert }_1}.$$

따라서 모든 $x\in X$에 대하여, $m{\Vert x\Vert }_1\le \Vert x\Vert$이 성립한다.

정의 1.2.1

공간 $X$에서 두개의 노름 $\Vert \cdot \Vert$와 $\text{opnorm}\cdot$을 생각하자. 만약에 $m,M\in \mathbb{R}$이 존재하여 

$$m\text{opnorm}x\le \Vert x\Vert \le M\text{opnorm}x\text{for all }x\in X$$

를 만족하면, 두 노름이 서로 동치(equivalent)라고 한다.

정리 1.2.2

유한 차원 노름공간에 대하여, 임의의 두 노름은 서로 동치이다.

증명. $\Vert \cdot \Vert$과 $\text{opnorm}\cdot$이 서로 다른 두 노름이라 하자. 그러면 $m,M,k,K\in \mathbb{R}$이 존재하여,

$$\begin{array}{r}m{\Vert x\Vert }_1\le \Vert x\Vert \le M{\Vert x\Vert }_1\\ k{\Vert x\Vert }_1\le \text{opnorm}x\le K{\Vert x\Vert }_1\end{array}\text{for all }x\in V.$$

이제 위 두 부등식을 조합하면

$$\frac{m}{K}\text{opnorm}x\le \Vert x\Vert \le \frac{M}{k}\text{opnorm}x\text{for all }x\in V.$$

따라서 증명이 끝난다. ■

참고. 만약 $X$의 두 노름 $\Vert \cdot \Vert$과 $\text{opnorm}\cdot$이 동치이면, 이 노름들에 의해 정의되는 $X$ 위의 위상(topology) 또한 같다. 따라서 유한 차원 노름공간에서는, 모든 노름 위상(normed topology)가 서로 같다.

따름 정리 1.2.3

(1) 모든 유한 차원 노름공간은 완비(complete)이다. 

(2) 임의의 노름공간의 임의의 유한차원 부분공간(subspace)은 닫혀있다.

증명. (1) 유한 차원 노름공간 $X$에서, 2-노름은 완비이다. 따라서 노름의 동치성에 의해 임으의 유한 차원 노름공간의 노름은 완비이다.

(2) 임의의 노름공간 $X$의 유한차원 부분공간 $X_0$을 생각하자. $(x_n)\in X_0$을 $x_n\to x\in X$인 수열이라 하자. $(x_n)$ 은 $X_0$에서 코시 수열이고 $X_0$이 완비이므로, $x_n\to \text{mybar}x\in X-0$이라 할 수 있다. 따라서, 극한의 유일성에 의해 $x=\text{mybar}x\in X_0$를 얻는다. ■

Example 1.2.4

두 공간 $l_1(\mathbb{R})$과 $l_2(\mathbb{R})$를 생각해 보자. 이제 임의의 $x\in l_1(\mathbb{R})$에 대하여, ${\Vert x\Vert }_1\le {\Vert x\Vert }_2$이 성립하므로, $x\in l_2(\mathbb{R})$임을 알 수 있다. 따라서 $l_1(\mathbb{R})\subseteq l_2(\mathbb{R})$를 얻는다. 그러면 ${\Vert \cdot \Vert }_1$과 ${\Vert \cdot \Vert }_2$이 실제로 $l_1(\mathbb{R})$에서 동치일까?

정리 1.2.5

임의의 유한 차원 노름공간에서, 하이네-보렐 정리(Heine-Borel theorem)가 성립한다. 이 정리의 특수한 경우로 모든 닫힌 단위공(closed unit ball)은 콤팩트이다.

이제, 위 정리의 역에 대해서 생각해 보자. 먼저 다음의 보조정리가 필요하다.

보조정리 1.2.6 (Riesz Lemma)

$M$을 노름공간 $(X,\Vert \cdot \Vert )$의 닫힌 진부분공간(proper closed subspace)이라 하자 (즉, $M\ne V$). 또한 $0<\theta <1$를 택하자. 그러면 $\Vert x_{\theta }\Vert =1$이고, 모든 $m\in M$에 대하여 $\theta \le \Vert x_{\theta }-m\Vert$를 만족하는 $x_{\theta }\in X$가 존재한다.

증명. 먼저 $x_1\in X\setminus M$에 대하여,

$$d:=\underset{m\in M}{inf}\Vert x_1-m\Vert \ge 0$$

를 정의하자. 만약 $d=0$이라면, $m_k\in M$이 존재하여 $m_k\to x_1$이 성립한다. 하지만 $M$이 닫힌 집합이기 때문에, $x_1\in M$이 되는데, 이는 가정에 모순이다. 따라서 $d>0$를 얻는다.

이제, 임의의 $0<\theta <1$를 택하자. 아래의 사실로부터, 

$$\underset{m\in M}{inf}\Vert x_1-m\Vert =d<\frac{d}{\theta },$$ 

$m_0\in M$이 존재하여 $\Vert x_1-m_0\Vert <d/\theta$를 만족한다. 이제

$$x_{\theta }=\frac{x_1-m_0}{\Vert x_1-m_0\Vert }$$

와 같이 정의하자. 그러면 우선 $\Vert x_{\theta }\Vert =1$임을 알 수 있다. 따라서 임의의 $m\in M$에 대하여 다음을 얻는다.

$$\begin{array}{rl}\Vert x_{\theta }-m\Vert & =\Vert \frac{x_1-m_0}{\Vert x_1-m_0\Vert }-m\Vert \\ & =\frac{\Vert x_1-(m_0+m\Vert x_1-m_0\Vert )\Vert }{\Vert x_1-m_0\Vert }\\ & >\frac{d}{d/\theta }.\end{array}$$

따라서, $\Vert x_{\theta }-m\Vert >\theta$이 성립하고, 증명이 끝이 난다. ■

정리 1.2.7

만약 어떤 노름공간의 닫힌 단위공이 콤팩트이면, 이 공간의 차원은 유한이다.

증명. 노름공간 $(X,\Vert \cdot \Vert )$의 닫힌 단위공이 콤팩트라 가정하자. 일단 공간 $X$가 무한 차원을 갖는다고 가정해보자. $\Vert x_1\Vert =1$인 임의의 $x_1\in X$를 택하고 공간

$$M_1:=\mathrm{span}\{x_1\}\subseteq V$$

에 대해 생각해 보자. $M_1$는 $X$의 유한차원 닫힌 부분공간이므로, $M$은 진부분공간이고 따라서 $\theta =\frac{1}{2}$에 대하여 리즈의 보조정리(Riesz lemma)를 적용할 수 있다. 따라서 $x_2\in X$가 존재하여 

$$\Vert x_2\Vert =1\text{and}\Vert x_2-x_1\Vert \ge \frac{1}{2}$$

를 만족한다. 이제 공간

$$M_2:=\mathrm{span}\{x_1,x_2\}\subseteq V$$

을 정의한다. 그러면 리즈의 보조정리를 또 한번 적용하여,  

$$\Vert x_3\Vert =1\text{and}\Vert x_3-x_2\Vert \ge \frac{1}{2}$$

를 만족하는 $x_3\in V$를 얻을 수 있다. 이와 같은 방법으로 수열 $x_n\in V$을 얻을 수 있고 이 수열은 모든 $n\ne m$에 대하여

$$\Vert x_n\Vert =1\text{and}\Vert x_n-x_m\Vert \ge \frac{1}{2}$$

를 만족한다. 이 수열의 각 항의 노름은 $1$이므로 이 수열은 당연히 닫힌 단위공 안에 존재한다. 하지만, 이 수열은 수렴하는 부분 수열을 갖지 않는다. 이는 닫힌 단위공의 콤팩트성에 모순이므로, $X$는 유한차원을 가질 수 밖에 없다.. ■

Corollary 1.2.8

임의의 무한 차원 노름공간에서는 닫힌 단위공은 절대로 콤팩트일 수 없다.

1. 유클리드 공간에서 주어진 집합이 닫혀있고 유계인 것은 콤팩트 집합인 것과 동치이다. [본문으로]
2. 주어진 실함수가 콤팩트 집합 위에서 연속이면, 이 함수는 반드시 그 집합 안에서 최댓값과 최솟값을 갖는다. [본문으로]