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Problems and Solutions #046
Problem #046다음 등식을 증명하여라.∑k=1nsin⁡(kx)=cos⁡(x2)−cos⁡((n+12)x)2sin⁡(x2) 풀이 1. 삼각함수의 곱을 합차로 바꾸는 공식에 의해서∑k=1n2sin⁡(kx)sin⁡(x2)=∑k=1n{cos⁡((k−12)x)−cos⁡((k+12)x)}=cos⁡(x2)−cos⁡((n+12)x)따라서 식위 식의 양변에 $2 ..
Analysis/Complex Analysis  |  2018. 2. 28. 06:25
Problems and Solution #045
Problem #045 다음 방정식을 만족하는 x의 값을 구하여라. (1−1x)x−1=(1−12018)2018 위 방정식의 좌변에 x=1−y로 치환을 하면, \[ \begin{align*} \left( 1 - \frac{1}{x} \right)^{x-1} &= \left( 1 - \frac{1}{1-y} \right)^{-y} = \left( \frac{-y}{1-y} \right)^{-y} \[5px] &= \left( \frac{y}{y-1} \right)^{-y} = \left( \frac{y-1}{y} \right)^{y} = \left( 1 - \frac{1}{y} \right..
Others/Middle School Math  |  2018. 2. 23. 04:52
Problems and Solutions #043
Problem #043다음 극한의 수렴 여부를 판단하고, 수렴한다면 극한값을 구하여라. limn→∞e−n∑k=0nnkk! 증명. 포아송 분포(Poisson distribution)의 정의에 의하면, 단위 시간 안에 어떤 사건이 일어날 기댓값을 λ라 했을 때, 그 사건이 n번 일어날 확률은 λke−λk! 로 주어지며, 기댓값이 λ인 포아송 분포 X를 X∼Poisson(λ)와 같이 나타낸다. 이제 포아송 분포 Xn∼Poisson(n)에 대하여, 어떠..
Applied Mathematics/Probability & Statistics  |  2017. 12. 31. 09:57
Problems and Solutions #042
Problem #042 다음 부정적분을 계산하여라. ∫1x1+x1+1+xdx 풀이 1. t=1+x로 치환적분을 이용하자. 이 치환식을 정리하면 x=(t2−1)2를 얻고, 이로부터 dx=4t(t2−1)dt를 얻는다. 따라서 주어진 적분을 변수 t에 대한 적분으로 바꾸어 주면,\[ \begin{align*} \int \frac{dx}{ \sqrt{x}\sqrt{1+\sqrt{x}}\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{x}}}} &= \int \frac{4t(t^2-1)dt}{(t^2 -1) \cdot t \cdot \sqrt{1+t} ..
Analysis/Calculus  |  2017. 12. 19. 01:08
Problems and Solutions # 040
Problem #40 다음 극한을 구하여라. limn→∞n!nn 풀이1. 주어진 극한을 L이라 하자. L=limn→∞n!nn=limn→∞(n!nn)1n이제 양변에 자연로그를 씌우면 정적분의 정의에 의해서 \[ \ln L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \ln \left( \frac{n!}{n^n} \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln \left( \frac{k}{n} \rig..
Analysis/Calculus  |  2017. 11. 22. 00:47
Problems and Solutions #038
Problem #0383차 정사각행렬 A, B가 A2=AB+BA를 만족할 때, det(AB−BA)=0임을 보여라. A2=AB+BA이므로 AB=A2−BA, BA=A2−AB가 성립한다. 따라서\[ \begin{align*} \det(AB - BA) &= \det(A^2 - 2BA) = \det((A - 2B)A) \[5px] &= \det(A - 2B) \det(A) = \det(A) \det(A - 2B) \[5px] &= \det(A(A - 2B)) = \det(A^2 - 2AB) \[5px] &= \det(BA - AB) = \det(-(AB - BA)) \[5px] &= (-1)^3 \det(AB - BA) = -\det..
Algebra/Matrix Algebra  |  2017. 10. 13. 01:13
Problems and Solutions #035
Problem #035사차방정식 x4−3x+2=0의 네 근을 각각 a, b, c, d라 하자. 이 때, a3+b3+c3+d3의 값을 구하여라. 풀이1. 사차방정식의 근과 계수와의 관계에 의해 a+b+c+d=0,abc+abd+acd+bcd=3 임을 알 수 있다. 따라서 \begin{align*} 0 &= (a + b + c + d)^3 \[5px] &= a^3 + b^3 + c^3 + d^3 \ & \qquad\; + 3a^2(b + c + d) + 3b^2(a + c + d) + 3c^2(a + b + d) + 3d^2(a + b + c) \ & \qquad\; + 6(abc + abd + acd..
Others/High School Math  |  2017. 8. 16. 01:20
Problems and Solutions #034
Problem #034 임의의 실수 θk∈R와 양의 정수 n∈N에 대하여 다음을 증명하여라. ∏k=1ncos2⁡θk−∑k=1ncos2⁡θk≥1−n 풀이1. 우선 ak=cos2⁡θk라 하자. 그러면 모든 1≤k≤n에 대하여 0≤ak≤1이 성립한다. 주어진 부등식은 아래 부등식과 동치이다.∏k=1nak≥∑k=1nak+1−n이제 위 부등식을 수학적 귀납법을 이용하여 증명해 보자. 먼저 n=1인 경우 부등식이 성립한다. 또한\begin{align*..
Others/Olympiad  |  2017. 8. 8. 07:34
Problems and Solutions #030
Problem #030 1부터 6까지의 숫자를 한번씩 사용하여 만든 여섯자리 수는 11의 배수가 될 수 없음을 보여라. 여섯자리의 수를 편의상 a1a2a3a4a5a6으로 나타내기로 하자. 그러면 문제의 조건에 의하여(1)a1+a2+a3+a4+a5+a6=21임을 알 수 있다. 또한 이 수가 11의 배수여야 하므로, 11의 배수 판정법에 의하여(2)−a1+a2−a3+a4−a5+a6≡0(mod11)을 만족해야 한다. 하지만 a1, a2, a3, a4, a5, a6는 1부터 6까지의 숫자들 중 하나이므로\[ -9 \leq -..
Algebra/Number Theory  |  2017. 6. 15. 10:54
Problems and Solutions #029
Problem #029 n4+n3+n2+n+1이 완전제곱수가 되게 하는 모든 정수 n을 구하여라. 식을 간단히 하기 위하여, f(n):=n4+n3+n2+n+1로 정의하자. 또한 a(n):=(2n2+n)2=4n2+4n3+n2,b(n):=(2n2+n+1)2=4n4+4n3+5n2+2n+1 로 각각 정의하면, 간단한 계산을 통해 4f(n)−a(n)=3n2+4n+4=2n2+(n+2)2>0 를 얻는다. 또한 −1<n<3인 경우, \[ b(n) - 4f(n) = n^2 - 2n - 3 = ..
Others/Olympiad  |  2017. 6. 7. 21:51

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