Problems and Solutions #030

Problem #030

$1$부터 $6$까지의 숫자를 한번씩 사용하여 만든 여섯자리 수는 $11$의 배수가 될 수 없음을 보여라.

여섯자리의 수를 편의상 $a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5{a}_6$으로 나타내기로 하자. 그러면 문제의 조건에 의하여

$$\begin{array}{}\text{(1)}& a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=21\end{array}$$

임을 알 수 있다. 또한 이 수가 $11$의 배수여야 하므로, $11$의 배수 판정법에 의하여

$$\begin{array}{}\text{(2)}& -a_1+a_2-a_3+a_4-a_5+a_6\equiv 0(\mathrm{mod}11)\end{array}$$

을 만족해야 한다. 하지만 $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$, $a_5$, $a_6$는 $1$부터 $6$까지의 숫자들 중 하나이므로

$$\begin{array}{}\text{(3)}& -9\le -a_1+a_2-a_3+a_4-a_5+a_6\le 9\end{array}$$

임을 몇번의 숫자 대입을 통해 쉽게 확인할 수 있다. 따라서 $(2)$와 $(3)$에 의해

$$\begin{array}{}\text{(4)}& -a_1+a_2-a_3+a_4-a_5+a_6=0\end{array}$$

을 얻는다. 이제 $(1)$과 $(4)$를 변변끼리 더하면, $2(a_2+a_4+a_6)=21$을 얻는데, 좌변은 짝수이고 우변은 홀수이므로 모순이 발생한다. 따라서 $1$부터 $6$까지의 숫자를 한번씩 사용하여 $11$의 배수가 되는 여섯자리 수를 만들 수 없다.