'Others/Middle School Math'에 해당되는 글 11건

Problems and Solution #045
Problem #045 다음 방정식을 만족하는 $x$의 값을 구하여라. \[ \left( 1 - \frac{1}{x} \right)^{x-1} = \left( 1 - \frac{1}{2018} \right)^{2018} \] 위 방정식의 좌변에 $x=1-y$로 치환을 하면, \[ \begin{align*} \left( 1 - \frac{1}{x} \right)^{x-1} &= \left( 1 - \frac{1}{1-y} \right)^{-y} = \left( \frac{-y}{1-y} \right)^{-y} \\[5px] &= \left( \frac{y}{y-1} \right)^{-y} = \left( \frac{y-1}{y} \right)^{y} = \left( 1 - \frac{1}{y} \right..
Others/Middle School Math  |  2018. 2. 23. 04:52
궁극의 이항연산(Ultimate binary operation)
$\newcommand{\ultimate}{\, \rlap{\rlap{\times}{\div}}{+} \,}$초등학교 시절부터 배워온 사칙연산이란 산수의 기본이 되는 덧셈(addition), 뺄셈(subtraction), 곱셈(multiplication), 나눗셈(division)의 네 가지 연산을 일컫는다. 이 네 가지 연산은 각각 $+$, $-$, $\times$, $\div$로 나타낼 수 있다. 또한 이 사칙연산을 기본으로 하여 또 다른 이항연산을 정의할 수도 있다. 예를 들어, \[ a \circ b := 2 \times (a + b) \] 와 같이 정의하는 식이다. 이제 "사칙연산을 수행하기 위해 정말 네 개의 사칙연산 $+$, $-$, $\times$, $\div$가 반드시 필요한지(?)" 다..
Others/Middle School Math  |  2017. 7. 6. 00:19
Problems and Solutions #025
Problem #025 임의의 실수 $a$에 대하여 $\lfloor a \rfloor$를 $a$보다 작거나 같은 가장 큰 정수, $\{a\}$를 $a$의 소수부분, 즉, $\{a\} = a - \lfloor a \rfloor$와 같이 정의하자. 예를 들어 $a = 2.3$이라면 $\lfloor a \rfloor = 2$, $\{a\} = 0.3$이고, $a = -1.4$인 경우 $\lfloor a \rfloor = -2$, $\{a\} = 0.6$을 얻는다.이 때, 아래의 연립방정식을 풀어라. \begin{align*} x + \lfloor y \rfloor + \{z\} &= 3.8 \\ y + \lfloor z \rfloor + \{x\} &= -1.7 \\ z + \lfloor x \rfloor +..
Others/Middle School Math  |  2017. 4. 19. 08:51
Problems and Solutions #024
Problem #024 (1) 아래 방정식을 만족하는 서로 다른 양의 정수쌍 $(a,\,b,\,c)$를 찾아라. \[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1 \] (2) 아래 방정식을 만족하는 서로 다른 양의 정수쌍 $(a,\,b,\,c,\,d,\,e)$를 찾아라. \[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} + \frac{1}{e} = 1 \] 양의 정수 $6$과 $28$은 완전수(perfect number)이다. 즉, 아래 등식이 성립한다. \[ \begin{align*} 6 &= 1 + 2 + 3 \\ 28 &= 1 + 2 + 4 + 7 + 14 \end{align*} \] 위 사실을 이용하면 간단히 다..
Others/Middle School Math  |  2017. 4. 1. 01:17
Problems and Solutions #023
Problem #023 $n$이 양의 정수라 하자. 만약 $2^n$이 $k$ 자리의 정수이면, $5^n$은 몇 자리의 정수일까? 우선 $2^n$이 $k$ 자리의 정수이므로,\[ 10^{k-1}
Others/Middle School Math  |  2017. 3. 2. 13:35
Problems and Solutions #009
Problem #009 아래의 값을 계산하여라. \[ \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2 \cdots}}}} - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots}}}} \] 위 식의 첫째항과 둘째항을 각각 $x$와 $y$라 하자. 먼저 $x$의 값을 계산해 보자. $x^2 = 2x$라는 사실로부터 \[ x^2 = 2x \quad \Rightarrow \quad x(x-2) = 0 \quad \Rightarrow \quad x=0,\,2 \] 이 때 $x>0$이므로, $x=2$임을 알 수 있다. 또한 $y$의 값을 계산하기 위하여, $y^2 = 2+y$라는 사실을 이용하면 \[y^2 = 2 + y \quad \Rightarrow \quad (y+1)..
Others/Middle School Math  |  2016. 8. 17. 05:57
Problems and Solutions #005
Problem #005 점 $O$를 사각형 $ABCD$의 두 대각선 $AC$와 $BD$의 교점이라고 하자. 또한 삼각형 $ABO$, $BCO$, $CDO$, $DAO$의 넓이를 각각 $S_1$, $S_2$, $S_3$, $S_4$라고 하자.이때 $S_1$, $S_2$, $S_3$, $S_4$를 적당한 순서로 배열하여 연속적인 정수가 되게 할 수 있을까? 점 $A$에서 선분 $BD$에 내린 수선의 발을 $P$, 점 $C$에서 선분 $BD$에 내린 수선의 발을 $R$이라고 하자.그러면 각 삼각형들의 넓이는 아래와 같이 나타낼 수 있다. \[ S_1 = \frac{1}{2}\,\overline{BO}\,\overline{AP}, \quad S_2 = \frac{1}{2}\,\overline{BO}\,\over..
Others/Middle School Math  |  2016. 8. 2. 05:36
Problems and Solutions #004
Problem #004 당신은 친구에게 세개의 주사위를 던지라고 하였다. 그 뒤에, 친구에게 첫번째로 나온 주사위의 눈에 5를 곱한 뒤 7을 더하고, 이 결과에 2를 곱한 후에 두번째로 나온 주사위의 눈을 더하라고 하였다. 그 다음 그 결과에 10을 곱하고 마지막으로 세번째로 나온 주사위의 눈을 더한 후에 그 결과를 말하라고 했더니 401이라고 하였다. 그렇다면 이 세 주사위의 눈은 각각 (순서대로) 무엇이었을까? 주어진 세 주사위의 눈을 각각 $x$, $y$, $z$라 하자. 그러면 위 문제는 아래의 식을 만족하는 정수해 $1 \leq x,\, y,\, z \leq 6$를 찾는 문제와 같다. \[ 10[2(5x+7)+y]+z = 401 \tag*{(1)} \] 이제 식 (1)로부터 $10[2(5x+7)..
Others/Middle School Math  |  2016. 8. 2. 03:41
Problems and Solutions #002
Problem #002 피타고라스 삼중쌍(Phythagorean triple)이란 아래의 식을 만족하는 양의 정수의 쌍 $(a,\, b,\, c)$를 말한다.\[ a^2 + b^2 = c^2 \]위 식을 만족하는 피타고라스 삼중쌍은 무한함이 알려져 있다. 특히, $(3,\, 4,\, 5)$는 연속적인 세 양의 정수로 이루어진 피타고라스 삼중쌍이다. 이와 같이 연속적인 세 양의 정수로 이루어진 피타고라스 삼중쌍이 또 존재할까? 만약 존재한다면 그러한 삼중쌍을 모두 찾고, 아니면 존재하지 않음을 증명하여라. 연속적인 세 양의 정수로 이루어진 피타고라스 삼중쌍은 $(3,\,4,\,5)$가 유일함을 증명할 것이다. 만약에 조건을 만족하는 삼중쌍이 존재한다면 적당한 양의 정수 $n$에 대하여 $(n-1,\, n,..
Others/Middle School Math  |  2016. 7. 30. 00:39
"$\sqrt{2}$는 무리수이다."의 증명
$\sqrt{2}$는 무리수이다. 오일러 상수 $e$는 무리수이다. 원주율 $\pi$는 무리수이다. 정리 $\sqrt{2}$는 무리수(irrational)이다. 증명. 일단 $\sqrt{2}$가 유리수라고 가정해보자. 그러면 서로소인 정수 $a,\,b$가 존재하여 $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ 로 나타낼 수 있다. 이제 이 식의 양변을 제곱하면, $2 = \frac{a^2}{b^2}$이고 따라서 $2b^2 = a^2$이 되어 $a^2$이 짝수 임을 알 수 있다. 여기서 만약 $a$가 홀수라면 $a^2$ 또한 홀수가 되므로, $a$는 짝수여야만 한다. 이제 $a=2c$로 나타내 보자. 그러면, $2b^2 = a^2 = (2c)^2 = 4c^2$이 되고 정리하면 $b^2 = 2c^2$을 얻는다..
Others/Middle School Math  |  2016. 5. 25. 05:42

티스토리툴바