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반추이적 주사위(nontransitive dice)
$1$부터 $6$까지의 숫자가 각 면에 적혀있는 일반적인 정육면체 모양 주사위 두 개 $A$와 $B$가 주어졌다고 하자. 이제 주사위 $A$가 주사위 $B$를 이길 확률, 질 확률, 비길 확률 (즉, 주사위 $A$와 $B$를 던졌을 때, $A$의 눈이 $B$의 눈보다 클 확률, 작을 확률, 같을 확률)을 각각 $P(A > B)$, $P(A B) = P(A < B) = \frac{15}{36}, \quad P(A = B) = \frac{6}{36} \] 임을 알 수 있다. 즉, 두 주사위 $A$와 $B$에 대하여, 한 주사위가 다른 주사위를 이길 확률은 각각 $\frac{15}{36}$으로 동일하다. 이와 같이 두 주사위 $A$..
Applied Mathematics/Probability & Statistics  |  2020. 2. 19. 13:10
Problems and Solutions #043
Problem #043다음 극한의 수렴 여부를 판단하고, 수렴한다면 극한값을 구하여라. \[ \lim_{n \to \infty} e^{-n} \sum_{k=0}^{n} \frac{n^k}{k!} \] 증명. 포아송 분포(Poisson distribution)의 정의에 의하면, 단위 시간 안에 어떤 사건이 일어날 기댓값을 $\lambda$라 했을 때, 그 사건이 $n$번 일어날 확률은 \[ \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \] 로 주어지며, 기댓값이 $\lambda$인 포아송 분포 $X$를 $X \sim \operatorname{Poisson}(\lambda)$와 같이 나타낸다. 이제 포아송 분포 $X_n \sim \operatorname{Poisson}(n)$에 대하여, 어떠..
Applied Mathematics/Probability & Statistics  |  2017. 12. 31. 09:57
시커만 주사위(Sicherman dice)
두개의 일반적인 주사위가 있다고 하자. 일반적인 주사위의 각 면에는 점이 1개부터 6개까지 쓰여있으므로 이 일반적인 주사위를 $(1,\, 2,\, 3,\, 4,\, 5,\, 6)$으로 나타내도록 하자. 이제 두 주사위를 각각 굴려서 나온 두 수의 합을 구해보면 이 합은 2부터 12까지의 모든 수가 가능함을 알 수 있는데, 각각의 수가 나오는 경우의 수를 구해보면 다음과 같다. 합 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 경우의 수 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 이제 아래의 조건들을 모두 만족하는 2개의 주사위를 새롭게 만들고자 한다. 2개의 주사위는 동일하지 않다. 주사위에 각 면에는 적어도 하나 이상의 점이 쓰인다. 단, 주사위의 두 면에 같은 개수의 점이 쓰이는 것은 상관이 없다. 2개의..
Applied Mathematics/Probability & Statistics  |  2017. 10. 18. 04:07
가우스 적분(Gaussian integral)
가우스 적분(Gaussian integral)이란 아래와 같은 형태의 이상적분의 값을 말한다. \[ 2 I := 2 \int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}} \,dx = \sqrt{\pi} = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} \,dx \] 함수 $f(x) = e^{-x^2}$이 우함수(even function)이기 때문에 위 식이 자명하게 성립한다. 가우스 적분을 계산하는 방법은 여러가지가 알려져 있는데, 오늘은 그 중에 간단한 방법 몇 가지만 알아보고자 한다. 방법 1. 푸비니-토넬리 정리(Fubini-Tonelli theorem)을 이용한 방법 먼저 아래와 같은 이중적분을 생각해 보자. \[ \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} xe..
Applied Mathematics/Probability & Statistics  |  2017. 7. 15. 02:48
[퍼온글] 드무아브르의 중심극한정리(de Moivre's central limit theorem)
※ 출처 - http://bomber0.byus.net/index.php/2008/07/06/680 http://bomber0.byus.net/index.php/2008/07/12/686 http://bomber0.byus.net/index.php/2008/07/12/687 http://bomber0.byus.net/index.php/2008/07/14/688 드무아브르의 중심극한정리 대학민국 고등학교 수학의 통계 부분에서 다음과 같이 말하면서 증명하지 않고 은근슬쩍 넘어가는 것이 있다. 확률변수 $X$가 이항분포 $B(n,\, p)$를 따를 때, $n$이 충분히 크면 $X$의 분포는 근사적으로 정규분포 $N(np,\, npq)$를 따른다는 것이 알려져 있다. 고등학교 교과서에서도 '중심극한정리(cent..
Applied Mathematics/Probability & Statistics  |  2017. 5. 26. 01:37
카탈란 수(Catalan number)에 대하여
1. 카탈란 수의 정의 및 응용$n$번째 카탈란 수(Catalan number) $C_n$이란 아래의 점화식을 만족하는 수열의 $n$번째 항을 말한다. \[ C_0 = 1, \quad C_n = \sum_{i=0}^{n} C_i C_{n-i}, \ n \geq 0. \tag{1.1} \]이 수열의 첫 10개의 항을 나열하면 다음과 같다. ($C_0$부터 $C_9$까지) \[ 1,\ 1,\ 2,\ 5,\ 14,\ 43,\ 132,\ 429,\ 1430,\ 4862,\ \ldots \] 카탈란 수는 조합론(combinatorics)에서 빈번하게 등장하는 수 중의 하나로, 아래와 같은 문제들의 해답이 모두 $n$번째 카탈란 수 $C_n$으로 주어진다. 먼저 $C_4 = 14$라는 사실을 기억하자. (더 많은 ..
Applied Mathematics/Probability & Statistics  |  2015. 12. 1. 11:42
로또에 당첨될 확률에 대하여 (1)
이번 포스트에서는 간단한 확률 계산으로 우리나라에서 파는 나눔로또 6/45의 당첨 확률을 계산해 보려고 한다. 한국에서 판매하는 로또는 1부터 45까지의 45개의 숫자중에서 6개의 숫자를 선택한 후, 이 숫자들이 특정한 조건을 만족할 경우에 당첨금을 지급하는 방식이다. 1등의 경우 6개의 숫자 모두를 맞추어야 하고, 2등은 5개의 숫자와 하나의 보너스 숫자, 3등은 5개의 숫자, 4등은 4개의 숫자, 5등은 3개의 숫자를 맞춰야 한다. 각각의 확률을 구하기 위하여 우선 45개의 숫자중에서 6개의 숫자를 총 선택하는 경우의 수를 구하여보자.\[ _{45}C_{6} = \frac{49!}{6! \times 39!} = 8,145,060 \] 이제 1등이 당첨되게 하는 6개의 숫자를 '당첨숫자' 그 외의 39..
Applied Mathematics/Probability & Statistics  |  2014. 8. 1. 09:50

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