시커만 주사위(Sicherman dice)

written by jjycjn   2017. 10. 18. 04:07

두개의 일반적인 주사위가 있다고 하자. 일반적인 주사위의 각 면에는 점이 1개부터 6개까지 쓰여있으므로 이 일반적인 주사위를 (1,2,3,4,5,6)으로 나타내도록 하자. 이제 두 주사위를 각각 굴려서 나온 두 수의 합을 구해보면 이 합은 2부터 12까지의 모든 수가 가능함을 알 수 있는데, 각각의 수가 나오는 경우의 수를 구해보면 다음과 같다.


2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
경우의 수 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1


이제 아래의 조건들을 모두 만족하는 2개의 주사위를 새롭게 만들고자 한다.

  1. 2개의 주사위는 동일하지 않다.
  2. 주사위에 각 면에는 적어도 하나 이상의 점이 쓰인다. 단, 주사위의 두 면에 같은 개수의 점이 쓰이는 것은 상관이 없다.
  3. 2개의 주사위를 굴려서 나온 두 수의 합의 경우의 수의 분포가 위의 표와 같다.

위 세 조건을 모두 만족하는 2개의 주사위는 유일하게 존재하는데, 이를 제일 처음 발견한 시커만(George Sicherman)의 이름을 따서 시커만 주사위(Sicherman dice)라 한다. 시커만 주사위는 각각 (1,2,2,3,3,4)-주사위와 (1,3,4,5,6,8)-주사위이다. 실제로 시커만 주사위를 굴렸을 때 나오는 두 수의 합의 경우의 수를 구해보면 다음과 같다. 


1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
1 2 2 3 3 4
1 2 3 3 4 4 5
3 4 5 5 6 6 7
4 5 6 6 7 7 8
5 6 7 7 8 8 9
6 7 8 8 9 9 10
8

9

10

10

11 11 12


위 두개의 표를 보면 알 수 있듯이 일반적인 주사위를 굴렸을 때 나오는 두 수의 합의 경우의 수와 시커만 주사위를 굴렸을 때 나오는 두 수의 합의 경우의 수는 정확하게 일치함을 알 수 있다.


이제 시커만 주사위의 존재성과 유일성을 증명해 보도록 하자. 증명은 생성함수(generating function)를 이용할 것이다.


정리. 시커만 주사위(Sicherman dice)

위 세 조건 (a), (b), (c)를 모두 만족하는 2개의 주사위는 시커만 주사위가 유일하다.


증명. 먼저 일반적인 주사위 (1,2,3,4,5,6)의 생성함수 f(x)는 다음과 같다.

f(x)=x+x2+x3+x4+x5+x6

여기서 xn의 계수는 주사위에서 n개의 점이 찍혀있는 면의 개수를 의미한다. 이제 일반적인 주사위 2개를 굴렸을 때 나오는 두 수의 합의 경우의 수를 구하기 위하여 f2(x)를 구해보면

f2(x)=(x+x2+x3+x4+x5+x6)2=x2+2x3+3x4+4x5+5x6+6x7+5x8+4x9+3x10+2x11+x12

를 얻는다. 위 생성함수를 보면, xn의 계수가 두 주사위를 굴렸을 때 나오는 두 수의 합이 n인 경우의 수와 같음을 확인할 수 있다.


이제 위 세 조건 (a), (b), (c)를 모두 만족하는 2개의 주사위의 생성함수를 각각 g(x), h(x)라 하자. 먼저 조건 (a)에 의하여 g(x)h(x)여야만 함을 알 수 있다. 또한 조건 (b)에 의하여 g(0)=h(0)=0이어야 한다. 만약 g(x)h(x)에 상수항이 존재한다면, 이는 주사위에 점이 찍혀 있지 않는 면이 존재한다는 뜻이기 때문에 조건 (b)를 만족하지 못하기 때문이다. 또한 각 주사위는 6개의 면을 가지고 있기 때문에, g(x)h(x)의 계수들의 합을 각각 구하면 둘 다 6이 되어야 한다. 따라서 g(1)=h(1)=6을 만족해야만 한다. 이를 종합하면,

()g(x)h(x),g(0)=h(0)=0,g(1)=h(1)=6

마지막으로 2개의 주사위가 조건 (c)를 만족하기 위해서는 f2(x)=g(x)h(x)여야 한다. 이제 f2(x)을 인수분해하면, 

f2(x)=(x+x2+x3+x4+x5+x6)2=x2(x+1)2(x2+x+1)2(x2x+1)2

를 얻는다. 따라서 f2(x)의 인수를 g(x)h(x) ()를 모두 만족하도록 적절히 분배해야 한다. 먼저 f2(x)x=1을 대입하면, 

f2(1)=12223212=g(1)h(1)

이 되어야 하므로 g(x)h(x)는 모두 인수 (x+1)(x2+x+1)을 가져야 한다. 또한 g(0)=h(0)=0라는 사실로부터 g(x)h(x)는 모두 x를 인수로 가져야 함을 알 수 있다. 그러므로 f2(x)의 인수를 g(x)h(x) ()를 모두 만족하도록 분배하는 방법은 아래의 방법이 유일함을 알 수 있다.

g(x)=x(x+1)(x2+x+1)h(x)=x(x+1)(x2+x+1)(x2x+1)2

위 식을 각각 전개하면,

g(x)=x+2x2+2x3+x4h(x)=x+x3+x4+x5+x6+x8

를 얻는다. 따라서 세 조건 (a), (b), (c)를 모두 만족하는 2개의 주사위는 유일하고 이는 각각 (1,2,2,3,3,4)(1,3,4,5,6,8)임을 알 수 있다.


위 시커만 주사위 문제를 확장하여 다음과 같은 문제도 생각해 볼 수 있다.

  1. k개의 일반적인 주사위를 각각 굴렸을 때 나오는 수들의 합의 경우의 수의 분포를 갖는 k개의 (일반적이지 않은) 주사위를 찾을 수 있을까?
  2. 2개의 일반적인 정다면체 주사위를 굴렸을 때 나오는 수들의 합의 경우의 수의 분포를 갖는 2개의 서로 다른 정다면체 주사위를 찾을 수 있을까?
  3. 2개의 일반적인 정다면체 주사위를 굴렸을 때 나오는 수들의 합의 경우의 수의 분포를 갖는 2면체 주사위(동전)와 18면체 주사위가 존재할까? 혹은 3면체 주사위와 12면체 주사위, 또는 4면체 주사위와 9면체 주사위가 존재할까?


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