시커만 주사위(Sicherman dice)
두개의 일반적인 주사위가 있다고 하자. 일반적인 주사위의 각 면에는 점이 1개부터 6개까지 쓰여있으므로 이 일반적인 주사위를
합 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
경우의 수 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
이제 아래의 조건들을 모두 만족하는 2개의 주사위를 새롭게 만들고자 한다.
- 2개의 주사위는 동일하지 않다.
- 주사위에 각 면에는 적어도 하나 이상의 점이 쓰인다. 단, 주사위의 두 면에 같은 개수의 점이 쓰이는 것은 상관이 없다.
- 2개의 주사위를 굴려서 나온 두 수의 합의 경우의 수의 분포가 위의 표와 같다.
위 세 조건을 모두 만족하는 2개의 주사위는 유일하게 존재하는데, 이를 제일 처음 발견한 시커만(George Sicherman)의 이름을 따서 시커만 주사위(Sicherman dice)라 한다. 시커만 주사위는 각각
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
---|---|---|---|---|---|---|
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 4 | |
---|---|---|---|---|---|---|
1 | 2 | 3 | 3 | 4 | 4 | 5 |
3 | 4 | 5 | 5 | 6 | 6 | 7 |
4 | 5 | 6 | 6 | 7 | 7 | 8 |
5 | 6 | 7 | 7 | 8 | 8 | 9 |
6 | 7 | 8 | 8 | 9 | 9 | 10 |
8 |
9 |
10 |
10 |
11 | 11 | 12 |
위 두개의 표를 보면 알 수 있듯이 일반적인 주사위를 굴렸을 때 나오는 두 수의 합의 경우의 수와 시커만 주사위를 굴렸을 때 나오는 두 수의 합의 경우의 수는 정확하게 일치함을 알 수 있다.
이제 시커만 주사위의 존재성과 유일성을 증명해 보도록 하자. 증명은 생성함수(generating function)를 이용할 것이다.
증명. 먼저 일반적인 주사위
여기서
를 얻는다. 위 생성함수를 보면,
이제 위 세 조건 (a), (b), (c)를 모두 만족하는 2개의 주사위의 생성함수를 각각
마지막으로 2개의 주사위가 조건 (c)를 만족하기 위해서는
를 얻는다. 따라서
이 되어야 하므로
위 식을 각각 전개하면,
를 얻는다. 따라서 세 조건 (a), (b), (c)를 모두 만족하는 2개의 주사위는 유일하고 이는 각각
위 시커만 주사위 문제를 확장하여 다음과 같은 문제도 생각해 볼 수 있다.
개의 일반적인 주사위를 각각 굴렸을 때 나오는 수들의 합의 경우의 수의 분포를 갖는 개의 (일반적이지 않은) 주사위를 찾을 수 있을까? 개의 일반적인 정다면체 주사위를 굴렸을 때 나오는 수들의 합의 경우의 수의 분포를 갖는 개의 서로 다른 정다면체 주사위를 찾을 수 있을까? 개의 일반적인 정다면체 주사위를 굴렸을 때 나오는 수들의 합의 경우의 수의 분포를 갖는 면체 주사위(동전)와 면체 주사위가 존재할까? 혹은 면체 주사위와 면체 주사위, 또는 면체 주사위와 면체 주사위가 존재할까?
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