부터 까지의 숫자가 각 면에 적혀있는 일반적인 정육면체 모양 주사위 두 개 와 가 주어졌다고 하자. 이제 주사위 가 주사위 를 이길 확률, 질 확률, 비길 확률 (즉, 주사위 와 를 던졌을 때, 의 눈이 의 눈보다 클 확률, 작을 확률, 같을 확률)을 각각 , , 로 정의하면 간단한 계산을 통해
임을 알 수 있다. 즉, 두 주사위 와 에 대하여, 한 주사위가 다른 주사위를 이길 확률은 각각 으로 동일하다. 이와 같이 두 주사위 와 에 대하여 가 성립하는 경우 기호로 로 나타내기로 하자.
이번에는 모든 면에 이 적혀 있는 정육면체 모양 주사위 와 모든 면에 이 적혀 있는 정육면체 모양 주사위 를 생각해 보자. 그러면 주사위 가 항상 주사위 를 이기게 된다. (즉, 가 성립한다.) 이와 같이 두 주사위 와 에 대하여 가 성립하는 경우 기호로 로 나타내기로 하자.
반추이적 주사위(nontransitive dice)
각 면에 양의 정수가 적혀 있는 개의 정육면체 모양 주사위의 집합 이 주어졌다고 하자. 각각의 주사위에 대하여 다음과 같은 관계
이 성립할 때, 주사위의 집합 은
반추이적(nontransitive)이라 한다. "가위-바위-보 게임"은 반추이적 성질을 가지는 가장 간단하면서 유명한 게임이다.
인 경우, 다음과 같은 예가 있다.
각각의 경우에 대하여 경우의 수를 생각해 보면
가 되어 , 이 성립한다. 즉 두 주사위 집합 모두 반추이적임을 알 수 있다.
하지만 두 주사위 집합 , 은 다음과 같은 흥미로운 차이점을 갖는다. 이를 알아보기 위하여, 각 집합의 세 주사위가 동시에 던지는 경우를 생각해 보자. 먼저 주사위 집합 의 세 주사위를 동시에 던질 때, 각 주사위가 다른 두 주사위를 동시에 이길 확률을 계산하면 각각
가 되어 가 게임에서 가장 불리함을 알 수 있다. 반면 주사위 집합 에 대하여도 같은 계산을 해 보면
이 되어 이번에는 반대로 가 가장 유리한 주사위가 된다. 따라서 두 주사위 집합은 모두 반추이적이기는 하지만 서로 동형은 아님을 알 수 있다.
마이윈 주사위(Miwin dice)
1975년 물리학자 마이클 윈켈만(Michael Winkelmann)은 다음과 같은 형태의 반추이적 주사위를 제안하였다.
위 주사위 역시 한 주사위가 다른 주사위를 이길 확률을 각각 계산해 보면
이 되어 반추이적 성질 , 을 가짐을 확인해 볼 수 있다. 이 주사위를
마이윈 주사위(Miwin dice)라 부른다.
마이윈 주사위 집합 또는 에 적힌 주사위들의 눈을 살펴보면 부터 까지의 숫자가 정확히 두 번씩 사용되었음을 알 수 있다. 이 사실을 이용하여 의 숫자 중 하나를 뽑는 시행이 균등분포(uniform distribution)을 갖도록 설계할 수 있다. 다음과 같은 시행을 살펴보자.
- 첫번째 마이윈 주사위 집합 에서 하나의 주사위를 무작위로 선택하여 던진다. 이 때 나온 주사위의 눈을 라 하자.
- 두번째 마이윈 주사위 집합 에서 하나의 주사위를 무작위로 선택하여 던진다. 이 때 나온 주사위의 눈을 라 하자.
- 의 값을 계산한다. 이 때, 은 부터 사이의 정수 값을 갖는다.
위 시행에서 계산한 의 값의 분포는 균등분포를 갖는다. 실제로 임의의 정수 에 대하여, 임을 간단히 확인할 수 있다.
오스카의 주사위(Oscar dice)
독일의 퍼즐 제작자 오스카 반 데벤터(Oskar van Deventer)는 다음과 같이 7개의 반추이적 주사위를 제안하였다.
실제로 확률 계산을 통해 은 를 이기고, 는 를 이기고, 는 을 이기고, 는 을 이기고, 는 를 이기고, 는 를 이기고, 마지막으로 은 를 이김을 확인할 수 있다. 이를 방향그래프
(digraph)로 나타내면 다음과 같다. 여기서 는 가 를 이김을 뜻한다.
또한 오스카 주사위 집합 에서 임의로 두개의 주사위를 고르면, 이 주사위들을 모두 이기는 오스카 주사위가 유일하게 존재한다. 예를 들어 은 모두 이기는 주사위는 임을 알 수 있다.
