'Algebra'에 해당되는 글 62건

응집 방법(condensation method)을 통한 행렬식 계산
주어진 $n \times n$ 정사각행렬 $A$의 행렬식(determinant)를 $\abs{A}$ 나타내기로 하자. 이번 글에서는 $2 \times 2$ 행렬의 행렬식을 구하는 계산만을 반복하여 $A$의 행렬식을 구하는 도지슨의 응집 방법(condensation method)에 대하여 알아볼 것이다. 여기서 찰스 럿위지 도지슨(Charles Lutwidge Dodgson)은 소설 "이상한 나라의 앨리스(Alice's Adventures in Wonderland)"의 저자로 잘 알려진 루이스 캐럴(Lewis Carroll)의 본명이다. 도지슨의 응집 방법(condensation method) 도지슨의 응집 방법(condensation method)은 주어진 행렬쌍 $k \times k$ 정사각행렬 $A$..
Algebra/Matrix Algebra  |  2020. 9. 14. 11:35
산술 도함수(arithmetic derivative)에 대하여 - 2. 유리수로의 확장
산술 도함수(arithmetic derivative) $(\cdot)' : \N \to \N_0$는 미분가능한 함수들에 대한 곱의 미분법(product rule)과 유사한 법칙을 만족하도록 양의 정수 위에서 정의된 다음 성질을 만족하는 함수이다. 임의의 소수 $p$에 대하여, $p' = 1$. 임의의 양의 정수 $m,\, n$에 대하여, $(mn)' = m' \cdot n + m \cdot n'$. 이번 글에서는 산술 도함수의 정의역을 ($0$과 음의 정수를 포함한) 정수, 그리고 더 나아가 유리수까지 확장해 볼 것이다. 산술 도함수(arithmetic derivative)의 유리수로의 확장 먼저 산술 도함수의 정의를 정수 범위까지 확장해 보도록 하자. 이때, 산술 도함수가 정수 범위까지 확장되더라도 산..
Algebra/Number Theory  |  2020. 7. 29. 14:39
산술 도함수(arithmetic derivative)에 대하여 - 1. 정의와 기본 성질
미분 가능한 함수 $f,\, g$에 대하여 곱의 미분법(product rule)은 다음과 같다. \[ (fg)' = f' \cdot g + f \cdot g' \] 함수가 아닌 양의 정수에 대해서도 위와 유사하게 곱의 미분법을 만족하는 연산자를 정의할 수 있는데, 이것이 앞으로 살펴 볼 산술 도함수이다. 산술 도함수(arithmetic derivative)의 정의와 기본 성질 임의의 양의 정수 $n$에 대하여, $n$의 산술 도함수(arithemetic derivative)를 다음과 같이 정의한다. 아래 정의에서 (2)는 산술 도함수가 일반적인 도함수의 곱의 미분법을 만족해야 함을 보여준다. 정의 1. 산술 도함수(arithemetic derivative) 산술 도함수 $(\cdot)' : \N \to ..
Algebra/Number Theory  |  2020. 7. 29. 14:34
무리수를 보존하는 이항연산(binary operation)
짝수와 짝수의 합은 언제나 짝수이고 짝수와 홀수의 합은 언제나 홀수이다. 이와 비슷하게, 유리수와 유리수의 합은 언제나 유리수이지만 유리수와 무리수의 합은 언제나 무리수가 된다. 따라서 '짝수와 유리수가 무언가 유사한 수학적 구조를 갖는 것은 아닐까' 하는 짐작을 해 볼 수 있다. 하지만 홀수와 홀수의 합은 언제나 짝수가 되는 반면, 다음과 같이 무리수와 무리수의 합은 유리수일 수도 무리수일 수도 있다. \[ \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \in \Q^c, \quad \sqrt{2} + (1-\sqrt{2}) = 2 \in \Q \] 이러한 근본적인 차이가 발생하게 되는 이유는 무엇일까? 또한 무리수와 무리수를 연산했을 때, 반드시 무리수가 나오는 연산이 존재할까? 이번 글에서..
Algebra/Abstract Algebra  |  2020. 4. 16. 17:18
실수와 복소수 사이의 이상한 관계
집합론을 배우면서 접하게 되는 (직관에 반하는) 정리 중의 하나는, $\R$은 $\C$의 진부분집합(proper subset)임에도 불구하고, $\R$과 $\C$의 기수(cardinality)가 같다는 사실이다. 따라서 집합론적인 관점에서는 $\R$과 $\C$를 같은 집합, 즉 동형(isomorphic)이라고 보아도 크게 문제가 없다. 하지만 이 두 집합 $\R$과 $\C$에 대수적 구조를 부여하게 되면 여러가지 재미있는 상황이 발생하게 되는데, 이번 글에서는 이를 정리해 보고자 한다. 단, 앞으로의 논의는 모두 선택공리(axiom of choice)를 전제하고 있다고 가정하자. 정리 1. $\R$과 $\C$를 각각 $\Q$-벡터공간($\Q$-vector space)으로 보았을 때, 이 둘은 동형이다. ..
Algebra/Linear Algebra  |  2019. 7. 26. 08:56
두 행렬(matrix)의 기하평균(geometric mean)에 대하여
주어진 두 실수 $a,\, b \in \R$의 평균(mean)을 구하는 다양한 방법이 존재하지만, 그 중에서 가장 잘 알려진 평균으로는 $a,\, b$의 산술평균(arithmetic mean): $A(a,\,b) = \dfrac{a+b}{2}$ 기하평균(geometric mean): $G(a,\, b) = \sqrt{ab}$, (단, $a,\, b > 0$) 조화평균(harmonic mean): $H(a,\, b) = \dfrac{2}{a^{-1} + b^{-1}}$, (단, $a,\, b \neq 0$) 이 있다. 앞으로의 논의를 간단히 하기 위해서 (세 평균을 자연스럽게 정의하기 위한 공통 범위인) $a,\, b > 0$인 경우만 고려해 주도록 하자. $ $ 위와 같이 두 양의 실수 $a,\, b >..
Algebra/Matrix Algebra  |  2019. 6. 13. 14:18
정사각행렬(square matrix)의 거듭제곱
정사각행렬(square matrix) $A$에 대하여 행렬의 거듭제곱을 정의할 수 있다. 예를 들어 $3 \times 3$ 행렬 $A$가 \[ A = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & -1 \\ 3 & -1 & 5 \\ 1 & -1 & 3 \end{array} \right] \] 와 같이 주어졌다고 하자. 그러면 \[ A^2 = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & -1 \\ 3 & -1 & 5 \\ 1 & -1 & 3 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & -1 \\ 3 & -1 & 5 \\ 1 & -1 & 3 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rrr} ..
Algebra/Matrix Algebra  |  2018. 10. 2. 02:44
멱영행렬(nilpotent matrix)과 고윳값(eigenvalue) 사이의 관계
$n \times n$ 정사각행렬 $A$가 주어졌다고 하자. 만약 적당한 양의 정수 $k$가 존재하여 $A^k = 0$이 성립하면, $A$를 멱영행렬(nilpotent matrix)라 정의한다. 멱영행렬의 고윳값(eigenvalue)를 생각해 보면 재미있는 사실을 발견할 수 있는데, 이는 다음과 같다. $ $ 정리. $n \times n$ 정사각행렬 $A$가 주어졌다고 하자. 이 때, 다음 세 명제는 서로 동치이다. $A$는 $0$을 유일한 고윳값으로 갖는다. $A^n = 0$이 성립한다. $A$는 멱영행렬이다. $ $ 증명. $\color{myblue}{\text{(a)} \Rightarrow \text{(b)} \Rightarrow \text{(c)} \Rightarrow \text{(a)}}$를 각..
Algebra/Matrix Algebra  |  2018. 10. 2. 02:41
르장드르의 정리(Legendre's theorem)와 쿠머의 정리(Kummer's theorem)
소수 $p$가 주어졌다고 하자. $0$이 아닌 임의의 정수 $n$에 대하여, $n$의 $p$진 값매김($p$-adic valuation)은 $\nu_{p}(n)$을 $p^{\nu}$가 $n$를 나누게 하는 양의 정수 $\nu$ 중 가장 큰 수로 정의한다. 또한 $\nu_{p}(0) = \infty$로 정의한다. 즉, \[ \nu_{p}(n) = \begin{cases} \max \{\nu \in \N \, : \, p^{\nu} \mid n \} & \text{if} \;\; n \neq 0 \\[5px] \infty & \text{if} \;\; n = 0 \end{cases} \] 으로 정의된다. 따라서 정의에 의해서 $\nu_{p}(n)$은 $n$을 소인수분해 했을 때 $p$의 지수와 같음을 알 수..
Algebra/Number Theory  |  2018. 8. 16. 23:24
군론(group theory)를 이용한 정수론의 정리 증명
정수론에서 합동(modular)의 개념을 정의하고 나서 바로 배우는 세 가지의 정리가 있다. 이들은 각각 페르마의 소정리(Fermat's little theorem), 오일러의 정리(Euler's theorem), 그리고 윌슨의 정리(Wilson's theorem)를 말하는데, 이 정리를 기반으로 합동식에 대한 다양한 결론를 이끌어 낼 수 있다. 이 세 가지 정리의 증명은 합동식의 성질을 이용해서 증명할 수도 있지만, 대수학에서의 군(group)의 성질을 이용함으로써 단 몇 줄로도 증명이 가능하다. 이를 자세히 살펴 보면 다음과 같다. $ $ 우선 세 양의 정수 $a,\,b,\,m$에 대하여, $a$와 $b$가 모두 $m$과 서로소(coprime)라 하자. 그러면 정수 $x_1,\, y_1,\, x_2,..
Algebra/Number Theory  |  2018. 8. 11. 00:35

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