멱영행렬(nilpotent matrix)과 고윳값(eigenvalue) 사이의 관계

$n \times n$ 정사각행렬 $A$가 주어졌다고 하자. 만약 적당한 양의 정수 $k$가 존재하여 $A^k = 0$이 성립하면, $A$를 멱영행렬(nilpotent matrix)라 정의한다. 멱영행렬의 고윳값(eigenvalue)를 생각해 보면 재미있는 사실을 발견할 수 있는데, 이는 다음과 같다.

$ $

정리.

$n \times n$ 정사각행렬 $A$가 주어졌다고 하자. 이 때, 다음 세 명제는 서로 동치이다.

1. $A$는 $0$을 유일한 고윳값으로 갖는다.
2. $A^n = 0$이 성립한다.
3. $A$는 멱영행렬이다.

$ $

증명. $\color{myblue}{\text{(a)} \Rightarrow \text{(b)} \Rightarrow \text{(c)} \Rightarrow \text{(a)}}$를 각각 보이도록 하자. $\color{myblue}{\text{(a)} \Rightarrow \text{(b)}}$ 먼저 $A$가 $0$을 유일한 고윳값으로 갖는다고 가정해 보자. 따라서 $A$의 특성방정식(characteristic equation)은 적당한 실수 $c \in \R$에 의해 \[ p(t) = \det(A - tI) = ct^n \] 의 형태로 나타낼 수 있다. 따라서 케일리-헤밀턴 정리(Cayley-Hamilton theorem)에 의해서 \[ p(A) = cA^n = 0 \] 이 되어 $A^n = 0$을 얻는다.

$ $

$\color{myblue}{\text{(b)} \Rightarrow \text{(c)}}$ 멱영행렬의 정의에 의해 자명하다.

$ $

$\color{myblue}{\text{(c)} \Rightarrow \text{(a)}}$ $A$가 멱영행렬이라 가정하자. 그러면 적당한 양의 정수 $k$가 존재하여 $A^k = 0$이 성립한다. 이러한 $k$의 값들 중 가장 작은 $k$를 택하면 $A^{k-1} \neq 0$이 성립한다. 그러므로 \[ \vec{v} := A^{k-1} \vec{u} \neq \vec{0} \] 을 만족하는 $\vec{u} \neq \vec{0}$가 존재한다. 한 편, \[ A \vec{v} = A^{k} \vec{u} = 0 \vec{u} = \vec{0} \] 따라서 $A \vec{v} = \vec{0}$이 되어 $0$은 $A$의 고윳값임을 알 수 있다.

$ $

한 편, $0$이 $A$의 유일한 고윳값임을 증명하기 위하여, $\lambda$가 $A$의 또 다른 고윳값이라 가정해 보자. 이제 $\vec{w} \neq \vec{0}$가 $\lambda$에 대응하는 고유벡터라 하면 \[ A \vec{w} = \lambda \vec{w} \implies A^k \vec{w} = \lambda^k \vec{w} \implies 0 \vec{w} = \lambda^k \vec{w} \] 따라서 $\lambda^k = 0$ 또는 $\lambda = 0$임을 알 수 있다..

$ $

따름정리.

$n \times n$ 정사각행렬 $A$가 주어졌다고 하자. 이 때, 다음 세 명제는 서로 동치이다.

1. $A$는 $\lambda$를 유일한 고윳값으로 갖는다.
2. $(A - \lambda I)^n = 0$이 성립한다.
3. $A - \lambda I$는 멱영행렬이다.

$ $

증명. $A$가 $\lambda$를 유일한 고윳값으로 갖는 것과 $B := A - \lambda I$가 $0$을 유일한 고윳값으로 갖는 것이 동치이기 때문에, 위 정리에 의해 주어진 따름정리가 성립한다..

$ $

참고. 위 정리의 동치 관계 $\color{myblue}{\text{(b)} \Leftrightarrow \text{(c)}}$를 이용하면 몇 가지 재미있는 관찰을 할 수 있다.

• 이차정사각행렬 $A$에 대하여, $A^3 = 0$이면 $A^2 = 0$이 성립한다.
• $n \times n$ 정사각행렬 $A$에 대하여 $A^n \neq 0$이면, 모든 자연수 $k$에 대하여 $A^k \neq 0$이 성립한다.
• $n \times n$ 정사각행렬 $A$가 대각화 가능(diagonalizable)하면서 동시에 멱영행렬이면, $A=0$이어야만 한다.