'Applied Mathematics'에 해당되는 글 24건

반추이적 주사위(nontransitive dice)
$1$부터 $6$까지의 숫자가 각 면에 적혀있는 일반적인 정육면체 모양 주사위 두 개 $A$와 $B$가 주어졌다고 하자. 이제 주사위 $A$가 주사위 $B$를 이길 확률, 질 확률, 비길 확률 (즉, 주사위 $A$와 $B$를 던졌을 때, $A$의 눈이 $B$의 눈보다 클 확률, 작을 확률, 같을 확률)을 각각 $P(A > B)$, $P(A B) = P(A < B) = \frac{15}{36}, \quad P(A = B) = \frac{6}{36} \] 임을 알 수 있다. 즉, 두 주사위 $A$와 $B$에 대하여, 한 주사위가 다른 주사위를 이길 확률은 각각 $\frac{15}{36}$으로 동일하다. 이와 같이 두 주사위 $A$..
Applied Mathematics/Probability & Statistics  |  2020. 2. 19. 13:10
피보나치 수열(Fibonacci sequence)과 그래프(graph)
피보나치 수열은 $F_{1} = F_{2} = 1$, $F_{n+2} = F_{n+1} + F_{n}$으로 귀납적으로 정의되는 수열로서 전혀 관련이 없는듯 보이는 수학의 여러가지 분야에서 심심치 않게 등장하고는 한다. 아래 글은 피보나치 수열의 수학의 여러 분야로의 활용에 대해 다루고 있다. 피보나치 수(Fibonacci number) 판별법 피보나치 수열(Fibonacci sequence)과 역코탄젠트(arccotangent) 함수 이번 글에서는 피보나치 수열을 행렬이론(matrix theory)과 조합론(graph theory)의 두가지 관점에서 바라보고자 한다. 우선 다음과 같이 $4 \times 4$행렬 $M$을 정의하자. \[ M = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1..
Applied Mathematics/Game Theory  |  2019. 7. 17. 16:21
도함수와 원시함수가 같은 함수
도함수와 원시함수가 같은 함수 지수함수 $f(x) = e^x$는 굉장히 특별한 성질을 가지고 있는 함수이다. 이 함수를 미분하면 $f'(x) = e^x$이다. 또한 이 함수를 적분하면, 즉, 이 함수의 원시함수(primitive function)를 $F(x)$를 구해보면, $F(x) = e^x + C$의 형태가 되어 (상수항을 무시하면) 도함수와 원시함수가 서로 같아진다. 이러한 성질을 만족하는 함수가 더 있을까? 미분방정식을 이용하면 이에 대한 해답을 간단히 얻을 수 있다. 주어진 함수 $f(x)$의 도함수와 원시함수가 서로 같다고 하자. 이제 $f(x)$의 원시함수를 $F(x)$라 하면, $f'(x) = F''(x)$라 할 수 있으므로, 문제의 조건에 의해서 \[ F''(x) = F(x) \] 를 만..
Applied Mathematics/Differential Equations  |  2018. 2. 27. 23:48
Problems and Solutions #043
Problem #043다음 극한의 수렴 여부를 판단하고, 수렴한다면 극한값을 구하여라. \[ \lim_{n \to \infty} e^{-n} \sum_{k=0}^{n} \frac{n^k}{k!} \] 증명. 포아송 분포(Poisson distribution)의 정의에 의하면, 단위 시간 안에 어떤 사건이 일어날 기댓값을 $\lambda$라 했을 때, 그 사건이 $n$번 일어날 확률은 \[ \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \] 로 주어지며, 기댓값이 $\lambda$인 포아송 분포 $X$를 $X \sim \operatorname{Poisson}(\lambda)$와 같이 나타낸다. 이제 포아송 분포 $X_n \sim \operatorname{Poisson}(n)$에 대하여, 어떠..
Applied Mathematics/Probability & Statistics  |  2017. 12. 31. 09:57
시커만 주사위(Sicherman dice)
두개의 일반적인 주사위가 있다고 하자. 일반적인 주사위의 각 면에는 점이 1개부터 6개까지 쓰여있으므로 이 일반적인 주사위를 $(1,\, 2,\, 3,\, 4,\, 5,\, 6)$으로 나타내도록 하자. 이제 두 주사위를 각각 굴려서 나온 두 수의 합을 구해보면 이 합은 2부터 12까지의 모든 수가 가능함을 알 수 있는데, 각각의 수가 나오는 경우의 수를 구해보면 다음과 같다. 합 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 경우의 수 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 이제 아래의 조건들을 모두 만족하는 2개의 주사위를 새롭게 만들고자 한다. 2개의 주사위는 동일하지 않다. 주사위에 각 면에는 적어도 하나 이상의 점이 쓰인다. 단, 주사위의 두 면에 같은 개수의 점이 쓰이는 것은 상관이 없다. 2개의..
Applied Mathematics/Probability & Statistics  |  2017. 10. 18. 04:07
Problems and Solutions #037
Problem #037$x^2 + y^2 = 4$를 만족하는 실수 $x,\, y$에 대하여 $f(x,\,y) = 15x^2 + 8xy$의 최솟값과 최댓값을 구하여라. 풀이 1. 다음과 같이 라그랑지 함수 $L$을 정의하자.\[ L(x,\,y,\, \lambda) = 15x^2 + 8xy + \lambda(x^2 + y^2 - 4) \]이제 위 함수를 $x,\,y,\,\lambda$에 대한 편미분을 구하여 $0$으로 두면, 다음의 연립 방정식을 얻는다. \begin{align} L_x(x,\,y,\,\lambda) &= 30x^2 + 8y + 2x\lambda = 0 \\[5px] L_y(x,\,y,\,\lambda) &= 8x + 2y\lambda = 0 \\[5px] L_{\lambda}(x,\,y,\..
Applied Mathematics/Optimization  |  2017. 9. 20. 23:43
가우스 적분(Gaussian integral)
가우스 적분(Gaussian integral)이란 아래와 같은 형태의 이상적분의 값을 말한다. \[ 2 I := 2 \int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}} \,dx = \sqrt{\pi} = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} \,dx \] 함수 $f(x) = e^{-x^2}$이 우함수(even function)이기 때문에 위 식이 자명하게 성립한다. 가우스 적분을 계산하는 방법은 여러가지가 알려져 있는데, 오늘은 그 중에 간단한 방법 몇 가지만 알아보고자 한다. 방법 1. 푸비니-토넬리 정리(Fubini-Tonelli theorem)을 이용한 방법 먼저 아래와 같은 이중적분을 생각해 보자. \[ \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} xe..
Applied Mathematics/Probability & Statistics  |  2017. 7. 15. 02:48
[퍼온글] 드무아브르의 중심극한정리(de Moivre's central limit theorem)
※ 출처 - http://bomber0.byus.net/index.php/2008/07/06/680 http://bomber0.byus.net/index.php/2008/07/12/686 http://bomber0.byus.net/index.php/2008/07/12/687 http://bomber0.byus.net/index.php/2008/07/14/688 드무아브르의 중심극한정리 대학민국 고등학교 수학의 통계 부분에서 다음과 같이 말하면서 증명하지 않고 은근슬쩍 넘어가는 것이 있다. 확률변수 $X$가 이항분포 $B(n,\, p)$를 따를 때, $n$이 충분히 크면 $X$의 분포는 근사적으로 정규분포 $N(np,\, npq)$를 따른다는 것이 알려져 있다. 고등학교 교과서에서도 '중심극한정리(cent..
Applied Mathematics/Probability & Statistics  |  2017. 5. 26. 01:37
최대최소 정리 - 3. 사이온의 최대최소 정리(Sion's Minimax Theorem)
이번 글의 목적은, 게임 이론에서 폰 노이만(John Von Neumann, 1903-1957)의 최대최소 정리(Minimax Theorem)의 조건을 좀 더 일반화 한 사이온(Maurice Sion)의 최대최소 정리에 대해 알아보고 이를 KKM 사상(Knaster-Duratowski-Mazurkiewicz map)과 Ky Fan의 동시발생 정리(Ky Fan's Conincidence Theorem)을 이용하여 증명하는 것이다. 사이온의 최대최소 정리(Sion's Minimax Theorem) 정의 3.1. 반연속 함수(semi-continuous function) $X$가 선형위상공간(linear topological space)이라 하자. 함수 $f: X \to \R$에 대하여 임의의 $r \in \..
Applied Mathematics/Game Theory  |  2017. 5. 12. 01:11
최대최소 정리 - 2. KKM 사상과 Ky Fan의 정리
이번 글의 목적은, 게임 이론에서 폰 노이만(John Von Neumann, 1903-1957)의 최대최소 정리(Minimax Theorem)의 조건을 좀 더 일반화 한 사이온(Maurice Sion)의 최대최소 정리에 대해 알아보고 이를 KKM 사상(Knaster-Duratowski-Mazurkiewicz map)과 Ky Fan의 동시발생 정리(Ky Fan's Conincidence Theorem)을 이용하여 증명하는 것이다. KKM 사상과 Ky Fan의 정리 정의 2.1. 유한닫힌집합(finitely closed set) 집합 $A \subseteq X$에 대하여, $A$와 $X$의 임의의 유한차원 아핀 부분공간(affine subspace) $L$과의 교집합 $A \cap L$이 ($L$의 위상에서..
Applied Mathematics/Game Theory  |  2017. 5. 12. 01:05

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