Problems and Solutions #037

Problem #037

$x^2+y^2=4$를 만족하는 실수 $x,y$에 대하여 $f(x,y)=15x^2+8xy$의 최솟값과 최댓값을 구하여라.

풀이 1. 다음과 같이 라그랑지 함수 $L$을 정의하자.

$$L(x,y,\lambda )=15x^2+8xy+\lambda (x^2+y^2-4)$$

이제 위 함수를 $x,y,\lambda$에 대한 편미분을 구하여 $0$으로 두면, 다음의 연립 방정식을 얻는다.

$$\begin{array}{rl}{L}_x(x,y,\lambda )& =30x^2+8y+2x\lambda =0\\ L_y(x,y,\lambda )& =8x+2y\lambda =0\\ L_{\lambda }(x,y,\lambda )& =x^2+y^2-4=0\end{array}$$

여기서 $x=0$, $y=0$, 또는 $\lambda =0$인 경우 위 연립 방정식을 만족하지 않음을 간단히 확인할 수 있다. 따라서 $x,y,\lambda$는 모두 $0$이 아니다. 이제 식 $(2)$로부터 $\lambda =-\frac{4x}{y}$를 얻고 이를 식 $(1)$에 대입하여 정리하면

$$\begin{array}{rl}30x+8y-\frac{8x^2}{y}=0& ⟹4y^2+15xy-x^2=0\\ \text{(4)}& & ⟹4(y+4x)(y-\frac{x}{4})=0\end{array}$$

를 얻는다. 따라서 식 $(4)$는 두 직선 $y=-4x$와 $y=\frac{x}{4}$를 나타냄을 알 수 있다. 이제 식 $(3)$과 $(4)$를 연립 하여 계산하면,

다음의 네 개의 해를 얻는다.

$$(x,y)=(\frac{8}{\sqrt{17}},\frac{2}{\sqrt{17}}),(-\frac{8}{\sqrt{17}},-\frac{2}{\sqrt{17}}),(\frac{2}{\sqrt{17}},-\frac{8}{\sqrt{17}}),(-\frac{2}{\sqrt{17}},\frac{8}{\sqrt{17}})$$

따라서 라그랑지 승수법(Lagrange multiplier method)에 의해 주어진 식의 최댓값 또는 최솟값이 존재하는 점들은 위의 네 점 중에 반드시 포함된다. 이제 위 네 점을 주어진 함수에 대입하여 값을 구해보면,

$$\begin{array}{rl}maxf(x,y)=64& \text{when}(\frac{8}{\sqrt{17}},\frac{2}{\sqrt{17}}),(-\frac{8}{\sqrt{17}},-\frac{2}{\sqrt{17}})\\ minf(x,y)=-4& \text{when}(\frac{2}{\sqrt{17}},-\frac{8}{\sqrt{17}}),(-\frac{2}{\sqrt{17}},\frac{8}{\sqrt{17}})\end{array}$$

풀이 2. $x^2+y^2-4=0$이므로

$$\begin{array}{rl}f(x,y)& =15x^2+8xy+x^2+y^2-4\\ & =16x^2+8xy+y^2-4\\ \text{(5)}& & =(4x+y{)}^2-4\end{array}$$

따라서 연립 방정식 $4x+7=0$, $x^2+y^2=4$를 만족하는 $(x,y)$에 대하여, $f$는 최솟값 $-4$를 가진다. 그러므로

$$minf(x,y)=-4\text{when}(\frac{2}{\sqrt{17}},-\frac{8}{\sqrt{17}}),(-\frac{2}{\sqrt{17}},\frac{8}{\sqrt{17}})$$

이제 $f$의 최댓값을 구하기 위하여 식을 좀 더 변형해 보자. 식 $(5)$에 코시-슈바르츠 부등식(Cauchy-Schwarz inequality)를 적용하면,

$$\begin{array}{rl}f(x,y)& =(4x+y{)}^2-4\\ & \le (4^2+1^2)(x^2+y^2)-4\\ & =17\cdot (4)-4=64\end{array}$$

위 부등식의 등호 조건은 $(4,1)$과 $(x,y)$가 일차 종속일 때 이므로 $x=4y$를 얻는다. 따라서 연립 방정식 $x=4y$, $x^2+y^2=4$를 만족하는 $(x,y)$에 대하여, $f$는 최댓값 $-4$를 가진다. 그러므로

$$maxf(x,y)=64\text{when}(\frac{8}{\sqrt{17}},\frac{2}{\sqrt{17}}),(-\frac{8}{\sqrt{17}},-\frac{2}{\sqrt{17}})$$