원주율의 계산 - 마친의 공식 (Machin's Formula)
원주율 파이는 무한소수이기 때문에 컴퓨터를 이용하여 그 값을 근사적으로 구해야만 한다. 특히, 원주율의 계산은 슈퍼컴퓨터의 연산 성능을 측정하는 기준의 하나로 쓰이기도 한다. 원주율 값은 보통 무한급수의 합으로 주어지는데, 이번 포스트에서는 마친(John Machin)에 의해 1706년에 발견된 다음의 공식에 대해 알아보고자 한다. $$ \frac{\pi}{4} = 4 \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239}. $$ 위 공식과 역탄젠트 함수의 급수 표현을 이용하면 원주율로 빠르게 수렴하는 간단한 급수를 얻을 수 있다. 우선 다음의 식을 간단한 방법으로 증명해 보도록 하자. 먼저 $\tan \alpha = \frac{1}{5}$를 만족하는 각도 $\alpha$를 생각하..