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Construction of Measure (4) 카라테오도리 확장정리(Caratheodory Extension Theorem)
저번 글에서는 적당한 조건을 만족하는 집합족 $\mathcal{E}$와 함수 $\rho : \mathcal{E} \to [0,\,\infty]$로부터 외측도 $\mu^* : X \to 2^X$를 구성하고, 이 외측도로부터 카라테오도리 구성(Caratheodory construction)을 통하여 $\sigma$-대수 $\mathcal{A}$와 완비측도 $\mu$를 구성하는 방법에 대해서 알아보았다. 하지만 이렇게 구성한 측도 $\mu$가 함수 $\rho$의 자연스러운 확장일까? 다시 말해 임의의 $E \in \mathcal{E}$에 대하여 $\rho(E)$와 $\mu(E)$가 같다고 할 수 있을까? 아래의 예제를 살펴보자. 예제 4.1 집합 $X = \{1,\,2,\,3\}$와 집합족 $\mathcal{..
Analysis/Measure Theory  |  2016. 12. 1. 01:36
Construction of Measure (3) 카라테오도리 구성(Catatheodory Construction)
저번 글에서는 임의의 공간 $X$ 위에서 외측도(outer measure) $\mu^*$를 구성하는 방법에 대해서 알아보았다. 앞서 확인해 보았듯이, 일반적으로 외측도 $\mu^*$는 $2^X$ 위에서 측도가 아니다. 이번 글에서는 $X$ 위에서 정의된 임의의 외측도 $\mu^*$ 를 바탕으로 $X$ 위의 $\sigma$-대수($\sigma$-algebra) $\mathcal{A}$를 정의하여, $\mu = \mu^*|_{\mathcal{A}}$가 $(X,\, \mathcal{A})$ 위에서 완비측도(complete measure)가 되게끔 하고자 한다. $X$ 위에 주어진 측도로부터 완비측도공간을 구성하는 방법을 카라테오도리 구성(Catatheodory Construction)이라 한다. 카라테오도리 ..
Analysis/Measure Theory  |  2016. 9. 22. 04:56
Construction of Measure (2) 외측도(Outer Measure)의 구성
공간 $X$가 임의로 주어졌다고 하자. 그러면 "공리적으로" $X$ 위의 $\sigma$-대수($\sigma$-algebra)를 정의하고, 가측공간(measurable space) $(X,\, \mathcal{A})$ 위에서 측도(meausre) $\mu$를 정의할 수 있음을 배운다. 또한 간단한 몇 가지 측도공간(measure space)의 예를 살펴보면서, $\sigma$-대수와 측도라는 개념이 그저 수학자들의 상상력의 산물이 아닌 실존하는 수학적 개념임을 배운다. 하지만 이는 모두 일단 $(X,\, \mathcal{A},\, \mu)$가 주어졌을 때, 이 공간이 측도공간임을 확인 하는 것일 뿐, 주어진 공간 $X$로 부터 $\mathcal{A}$와 $\mu$를 실제적으로 "구성하는" 방법에 대해서는..
Analysis/Measure Theory  |  2016. 9. 21. 02:10
Construction of Measure (1)
앞으로 차례대로 올릴 포스트의 최종 목적은 실수공간 $\R$ 위에서 구간(interval)의 크기의 개념 (예를 들어, 구간 $(a,\,b]$의 크기는 $b-a$로 정의한다.) 을 자연스레 확장하면서 동시에 평행변환불변(translation invariant)인 측도를 구성하는 것이다. 다시 말해 $\R$ 위의 적당한 가측공간 $(\R,\, \mathscr{A})$에서 아래의 두 조건을 만족하는 함수 $\mu : \mathscr{A} \to [0,\, \infty]$를 정의하는 것이 최종 목적이다. 임의의 집합 $A \in \mathscr{A}$와 실수 $r \in \R$에 대하여, $\mu(A+r) = \mu(A)$. $\mu((0,\,1]) = 1$. $(\R,\, 2^{\R})$ 위에서의 평행변환불..
Analysis/Measure Theory  |  2016. 9. 20. 13:06
측도공간(measure space)과 거리공간(metric space)
측도공간(measure space) $(X,\, \mathscr{A},\, \mu)$가 주어졌다고 하자. 측도란 특정 집합에 일종의 '길이' 또는 '크기'를 부여 하는 개념이다. 따라서 주어진 측도(measure)로 부터 두 집합 사이의 '거리'를 부여하는 거리함수(metric)를 정의할 수 있지 않을까? 이를 위해서는 우선 두 집합의 대칭차(symmetric difference)에 대해서 알아야 한다: 두 집합 $A$와 $B$가 주어졌을 때, 두 집합의 대칭차 $A \triangle B$는 \[ A \triangle B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) \] 로 정의된다. 이제 확장된 실수값함수(extended real valued function) $d : \mat..
Analysis/Measure Theory  |  2016. 9. 15. 10:25

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