Construction of Measure (4) 카라테오도리 확장정리(Caratheodory Extension Theorem)

저번 글에서는 적당한 조건을 만족하는 집합족 $\mathcal{E}$와 함수 $\rho :\mathcal{E}\to [0,\mathrm{\infty }]$로부터 외측도 ${\mu }^{\ast }:X\to 2^X$를 구성하고, 이 외측도로부터 카라테오도리 구성(Caratheodory construction)을 통하여 $\sigma$-대수 $\mathcal{A}$와 완비측도 $\mu$를 구성하는 방법에 대해서 알아보았다. 하지만 이렇게 구성한 측도 $\mu$가 함수 $\rho$의 자연스러운 확장일까? 다시 말해 임의의 $E\in \mathcal{E}$에 대하여 $\rho (E)$와 $\mu (E)$가 같다고 할 수 있을까? 아래의 예제를 살펴보자.

예제 4.1

집합 $X=\{1,2,3\}$와 집합족 $\mathcal{E}=\{\mathrm{\varnothing },\{1,2\},\{3\},\{2,3\}\}$를 정의하자. 또한 함수 $\rho :\mathcal{E}\to [0,+\mathrm{\infty }]$를 아래와 같이 정의하자.

$$\rho (\mathrm{\varnothing })=0,\rho (\{1,2\})=\rho (\{3\})=1,\rho (\{2,3\})=3.$$

그러면 $\mathcal{E}$와 $\rho$로부터 외측도 ${\mu }^{\ast }$를 구성할 수 있다. 또한 카라테오도리 구성을 통하여 ${\mu }^{\ast }$는 $\mu$를 유도한다. 이제 $\mu (\{2,3\})=2$인 반면, $\rho (\{2,3\})=3$임을 확인할 수 있다. 따라서 임의의 $E\in \mathcal{E}$에 대하여 $\rho E$와 $\mu E$가 같지 않음을 알 수 있다.

따라서 카라테오도리 구성을 통해 유도한 완비측도공간 $(X,\mathcal{A},\mu )$이 집합족 $\mathcal{E}$와 함수 $\rho$의 자연스러운 확장이 되게 하기 위해서는, 즉, $\mathcal{E}\subseteq \mathcal{A}$이고 임의의 $E\in \mathcal{E}$에 대하여 $\rho (E)=\mu (E)$가 되게 하기 위해서는, $\mathcal{E}$와 $\rho$에 좀더 조건을 추가해야함을 짐작해 볼 수 있다.

카라테오도리 확장정리(Caratheodory Extension Theorem)

정리 4.2 [환(ring)]

공집합이 아닌 집합 $X$에 대하여, 그러면 환(ring) $\mathcal{E}\subseteq 2^X$는 아래의 세 조건을 만족하는 집합족이다.

1. $\mathrm{\varnothing }\in \mathcal{E}$.
2. 임의의 $A,B\in \mathcal{E}$에 대하여, $A\cup B\in \mathcal{E}$.
3. 임의의 $A,B\in \mathcal{E}$에 대하여, $A\setminus B\in \mathcal{E}$.

참고.

1. 실제로 $(\mathcal{E},\mathrm{△},\cap )$는 대수적 관점에서 환이 된다. 이 때, 연산 $\mathrm{△}$은 $A\mathrm{△}B:=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)$로 정의된 대칭차집합(symmetric difference)를 의미한다.
2. 환 $\mathcal{E}$이 대수일 필요충분조건은 $X$가 $\mathcal{E}$의 원소인 것이다.

이제 아래의 정리를 증명 없이 받아들이기로 하자. 그러면 마침내 아래 정리를 통하여 르벡측도(Lebesgue)를 구성할 준비가 다 되었다.

정리 4.3 [카라테오도리 확장정리 (Caratheodoty Extension Theorem)]

집합 $X$가 공집합이 아니라 하자. 집합족 $\mathcal{E}\subseteq 2^X$가 다음을 만족한다고 하자.

1. $\mathcal{E}$는 $X$의 집합들의 환이다.
2. $X=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{C}_n$를 만족하는 집합열 $C_1,C_2,\dots \in \mathcal{E}$이 존재한다.

또한 함수 $\rho :\mathcal{E}\to [0,+\mathrm{\infty }]$가 다음을 만족한다고 하자.

1. $\rho (\mathrm{\varnothing })=0$.
2. $\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_n\in \mathcal{E}$를 만족하고 서로소인 $\mathcal{E}$의 임의의 집합열 $(E_n)$에 대하여,
   
   $$\rho (\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_n)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\rho (E_n).$$

3. $\rho$는 $\sigma$-유한($\sigma$-finite)이다. 다시말해, $\mathcal{E}$의 집합족 $(C_n)$이 존재하여 다음을 만족한다.
   

   $$X=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{C}_n\text{and}\rho (C_n)<\mathrm{\infty }\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}.$$

이제 ${\mu }^{\ast }$가 $\rho$로부터 유도된 외측도라 하고, $(X,\mathcal{A},\mu )$라 카라테오도리 구성에 의해 ${\mu }^{\ast }$로부터 구성된 완비측도집합이라 하자. 그러면

1. $\mathcal{E}\subseteq \mathcal{A}$. 따라서 $m(\mathcal{E})\subseteq \mathcal{A}$. (일반적으로 $\mathcal{A}$는 $m(\mathcal{E})$보다 훨씬 큰 집합족이다.)
2. 임의의 $E\subseteq \mathcal{E}$에 대하여, $\mu (E)=\rho (E)$.
3. $\mu$는 $\mathcal{E}$로부터 생성된 $\sigma$-대수 $m(\mathcal{E})$로 확장되는 유일한 측도이다. 다시말해, 만약 $\nu$가 임의의 $E\in \mathcal{E}$에 대하여 $\nu (E)=\rho (E)$를 만족하는 또다른 $\sigma$-유한측도라 하면, $m(\mathcal{E})$ 위에서 반드시 $\nu =\mu$이다.