Construction of Measure (2) 외측도(Outer Measure)의 구성

공간 $X$가 임의로 주어졌다고 하자. 그러면 "공리적으로" $X$ 위의 $\sigma$-대수($\sigma$-algebra)를 정의하고, 가측공간(measurable space) $(X,\, \mathcal{A})$ 위에서 측도(meausre) $\mu$를 정의할 수 있음을 배운다. 또한 간단한 몇 가지 측도공간(measure space)의 예를 살펴보면서, $\sigma$-대수와 측도라는 개념이 그저 수학자들의 상상력의 산물이 아닌 실존하는 수학적 개념임을 배운다. 하지만 이는 모두 일단 $(X,\, \mathcal{A},\, \mu)$가 주어졌을 때, 이 공간이 측도공간임을 확인 하는 것일 뿐, 주어진 공간 $X$로 부터 $\mathcal{A}$와 $\mu$를 실제적으로 "구성하는" 방법에 대해서는 그냥 넘어가는 경우가 많다.

그래서 이번 포스트와 다음 포스트 두개에 걸쳐서, 임의의 주어진 공간 $X$ 위에서 어떻게 $\sigma$-대수와 측도를 정의할 수 있는지 알아보고자 한다.

외측도(Outer Measure)

먼저 측도를 구성하기 이전에 외측도(outer measure)라는 개념을 정의하자. 외측도는 (아래의 정의에서 확인할 수 있듯이) 측도와 비슷하면서도 다른 개념이다.

정의 2.1 외측도(outer measure)

공간 $X$가 공집합이 아니라 하자. $X$ 위의 외측도(outer measure)란 아래 세 조건을 만족하는 함수 $\mu^* : 2^X \to [0,\,\infty]$를 말한다.

1. $\mu^*(\emptyset) = 0$.
2. 만약 $A \subseteq B$이면, $\mu^*(A) \leq \mu^*(B)$.
3. 임의의 $\{A_n\}_{n=1}^{\infty}$에 대하여,
   
   \[ \mu^* \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \right) \leq \sum_{n=1}^{\infty} \mu^*(A_n). \tag*{$(\ast)$}\]
   이러한 성질을 $\mu^*$의 가산준가법성(countable subadditivity)이라 한다.

위의 정의를 살펴보면, 측도의 경우 $X$의 $\sigma$-대수 $\mathcal{A}$ 위에서만 정의되는 반면, 외측도는 $X$ 위의 가장 큰 $\sigma$-대수인 $2^X$에서 정의가 됨을 알 수 있다. 하지만 만약 $(X,\, 2^X,\, \mu)$가 측도공간이라면, $\mu$는 측도이면서 동시에 외측도가 된다.

이제 주어진 공간 $X$ 위에서 외측도를 어떻게 구성할 수 있는지 알아보도록 하자. 먼저 아래의 두 조건을 만족하는 임의의 집합족 $\mathcal{E}$을 정의하자.

1. $\emptyset \in \mathcal{E}$.
2. 집합열 $\{C_n\}_{n=1}^{\infty}$이 존재하여 $X = \bigcup_{n=1}^{\infty} C_n$.

이제 함수 $\rho : \mathcal{E} \to [0,\,\infty]$가 $\rho(\emptyset) = 0$을 만족하는 임의의 함수라 하자. 이제 임의의 부분집합 $A \subseteq X$에 대하여, $A$의 외측도를

\[ \mu^*(A) = \inf \set{\sum_{n=1}^{\infty} \rho(E_n)}{A \subseteq \bigcup_{n=1}^{\infty} E_n}. \]

와 같이 정의한다.

예제 2.2 $X = \{1,\,2,\,3\}$이고 $\mathcal{E} = \{\emptyset,\, \{1\},\, \{2\},\, \{3\}\}$이라 하자. 또한 $\rho : \mathcal{E} \to [0,\,\infty]$를 아래와 같이 정의하자.

\[ \rho(\emptyset) = 0,\, \rho(\{1\}) = 1,\, \rho(\{2\}) = 2,\, \rho(\{3\}) = 3. \]

그러면, $\mu^* = 2^X \to [0,\,\infty]$는 아래와 같이 정의된다.

\[ \begin{aligned} \mu^*(\emptyset) = 0, \quad \mu^*(\{1\}) &= 1, \quad \mu^*(\{2\}) = 2, \quad \mu^*(\{3\}) = 3, \\ \mu^*(\{1,\,2\}) = 3, \quad \mu^*(\{1,\,3\}) &= 4, \quad \mu^*(\{2,\,3\}) = 5, \quad \mu^*(\{1,\,2,\,3\}) = 6. \end{aligned} \]

위와 같이 정의된 함수 $\mu^*$는 $2^X$ 위에서의 외측도임을 쉽게 확인할 수 있다.

정리 2.3 (외측도의 구성)

위와 같이 정의된 함수 $\mu^* : 2^X \to [0,\,\infty]$는 $X$ 위의 외측도이다.

증명. $\mu^*$가 외측도임을 보이기 위해서는 외측도의 세가지 조건을 보이면 충분하다.

1. $\mu^*(\emptyset) = 0$임은 $\mu^*$의 정의에 의해 자명하다.
2. $A \subseteq B$라 가정하자. 그러면,
   
   \[ \begin{aligned} \mu^*(A) &= \inf \set{\sum_{n=1}^{\infty} \rho(E_n)}{A \subseteq \bigcup_{n=1}^{\infty} E_n} \\ &\leq \inf \set{\sum_{n=1}^{\infty} \rho(E_n)}{B \subseteq \bigcup_{n=1}^{\infty} E_n} \\ &= \mu^*(B). \end{aligned} \]
   따라서 $\mu(A) \leq \mu(B)$를 얻는다.
3. $\{A_n\}_{n=1}^{\infty}$이 임의의 집합열이라 하자. 만약 부등식 $(\ast)$에서 $\text{RHS} = \infty$라면 부등식이 자명하게 성립하므로, $\text{RHS} < \infty$라 가정하자. 그러면 모든 $n \in \N$에 대하여 $\mu^*(A_n) < \infty$가 성립한다. 이제 각각의 $\mu^*(A_n)$에 대하여
   
   \[ \mu^*(A_n) = \inf \set{\sum_{m=1}^{\infty} \rho(E_{n,\,m})}{A_n \subseteq \bigcup_{m=1}^{\infty} E_{n,\,m}} \]
   라 할 수 있고 이 값들은 모두 유한(finite)이다.
   
   이제 $\epsilon>0$을 잡자. 그러면 각각의 $n \in \N$에 대하여, (하한(infimum)의 성질에 의하여) $\mathscr{E}$ 안에서 적당한 집합열 $\{E_{n,\,m}\}_{m=1}^{\infty}$가 존재하여
   
   \[ A_n \subseteq \bigcup_{m=1}^{\infty} E_{n,\,m} \quad \text{and} \quad \mu^*(A) \leq \sum_{m=1}^{\infty} \rho(E_{n,\,m}) \leq \mu^*(A) + \frac{\epsilon}{2^n} \]
   를 만족한다. 이제
   
   \[ \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \subseteq \bigcup_{n=1}^{\infty} \bigcup_{m=1}^{\infty} E_{n,\,m}. \]

   가 성립하므로 $\mu^*$의 성질과 조건 (2)에 의해
   

   \[ \begin{aligned} \mu^*\left( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \right) &\leq \mu^*\left( \bigcup_{n=1}^{\infty} \bigcup_{m=1}^{\infty} E_{n,\,m} \right) \leq \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty} \rho(E_{n,\,m}) \\ &\leq \sum_{n=1}^{\infty} \left( \mu^*(A_n) + \frac{\epsilon}{2^n} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu^*(A_n) + \epsilon. \end{aligned} \]
   를 얻는다. 이 때, $\epsilon>0$을 임의로 잡았으므로, 주어진 부등식 $(\ast)$를 만족한다.

함수 $\mu^*$는 외측도의 조건 (i), (ii), (iii)을 모두 만족하므로 $\mu^*$는 외측도이고 이로써 증명이 완료된다.