Construction of Measure (2) 외측도(Outer Measure)의 구성

공간 $X$가 임의로 주어졌다고 하자. 그러면 "공리적으로" $X$ 위의 $\sigma$-대수($\sigma$-algebra)를 정의하고, 가측공간(measurable space) $(X,\mathcal{A})$ 위에서 측도(meausre) $\mu$를 정의할 수 있음을 배운다. 또한 간단한 몇 가지 측도공간(measure space)의 예를 살펴보면서, $\sigma$-대수와 측도라는 개념이 그저 수학자들의 상상력의 산물이 아닌 실존하는 수학적 개념임을 배운다. 하지만 이는 모두 일단 $(X,\mathcal{A},\mu )$가 주어졌을 때, 이 공간이 측도공간임을 확인 하는 것일 뿐, 주어진 공간 $X$로 부터 $\mathcal{A}$와 $\mu$를 실제적으로 "구성하는" 방법에 대해서는 그냥 넘어가는 경우가 많다.

그래서 이번 포스트와 다음 포스트 두개에 걸쳐서, 임의의 주어진 공간 $X$ 위에서 어떻게 $\sigma$-대수와 측도를 정의할 수 있는지 알아보고자 한다.

외측도(Outer Measure)

먼저 측도를 구성하기 이전에 외측도(outer measure)라는 개념을 정의하자. 외측도는 (아래의 정의에서 확인할 수 있듯이) 측도와 비슷하면서도 다른 개념이다.

정의 2.1 외측도(outer measure)

공간 $X$가 공집합이 아니라 하자. $X$ 위의 외측도(outer measure)란 아래 세 조건을 만족하는 함수 ${\mu }^{\ast }:2^X\to [0,\mathrm{\infty }]$를 말한다.

1. ${\mu }^{\ast }(\mathrm{\varnothing })=0$.
2. 만약 $A\subseteq B$이면, ${\mu }^{\ast }(A)\le {\mu }^{\ast }(B)$.
3. 임의의 $\{A_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$에 대하여,
   
   $$\begin{array}{}(\ast )& {\mu }^{\ast }\left(\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\right)\le \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\mu }^{\ast }(A_n).\end{array}$$
   이러한 성질을 ${\mu }^{\ast }$의 가산준가법성(countable subadditivity)이라 한다.

위의 정의를 살펴보면, 측도의 경우 $X$의 $\sigma$-대수 $\mathcal{A}$ 위에서만 정의되는 반면, 외측도는 $X$ 위의 가장 큰 $\sigma$-대수인 $2^X$에서 정의가 됨을 알 수 있다. 하지만 만약 $(X,2^X,\mu )$가 측도공간이라면, $\mu$는 측도이면서 동시에 외측도가 된다.

이제 주어진 공간 $X$ 위에서 외측도를 어떻게 구성할 수 있는지 알아보도록 하자. 먼저 아래의 두 조건을 만족하는 임의의 집합족 $\mathcal{E}$을 정의하자.

1. $\mathrm{\varnothing }\in \mathcal{E}$.
2. 집합열 $\{C_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$이 존재하여 $X=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{C}_n$.

이제 함수 $\rho :\mathcal{E}\to [0,\mathrm{\infty }]$가 $\rho (\mathrm{\varnothing })=0$을 만족하는 임의의 함수라 하자. 이제 임의의 부분집합 $A\subseteq X$에 대하여, $A$의 외측도를

$${\mu }^{\ast }(A)=inf\left\{\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\rho (E_n)\right|A\subseteq \bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_n\}.$$

와 같이 정의한다.

예제 2.2 $X=\{1,2,3\}$이고 $\mathcal{E}=\{\mathrm{\varnothing },\{1\},\{2\},\{3\}\}$이라 하자. 또한 $\rho :\mathcal{E}\to [0,\mathrm{\infty }]$를 아래와 같이 정의하자.

$$\rho (\mathrm{\varnothing })=0,\rho (\{1\})=1,\rho (\{2\})=2,\rho (\{3\})=3.$$

그러면, ${\mu }^{\ast }=2^X\to [0,\mathrm{\infty }]$는 아래와 같이 정의된다.

$$\begin{array}{rl}{\mu }^{\ast }(\mathrm{\varnothing })=0,{\mu }^{\ast }(\{1\})& =1,{\mu }^{\ast }(\{2\})=2,{\mu }^{\ast }(\{3\})=3,\\ {\mu }^{\ast }(\{1,2\})=3,{\mu }^{\ast }(\{1,3\})& =4,{\mu }^{\ast }(\{2,3\})=5,{\mu }^{\ast }(\{1,2,3\})=6.\end{array}$$

위와 같이 정의된 함수 ${\mu }^{\ast }$는 $2^X$ 위에서의 외측도임을 쉽게 확인할 수 있다.

정리 2.3 (외측도의 구성)

위와 같이 정의된 함수 ${\mu }^{\ast }:2^X\to [0,\mathrm{\infty }]$는 $X$ 위의 외측도이다.

증명. ${\mu }^{\ast }$가 외측도임을 보이기 위해서는 외측도의 세가지 조건을 보이면 충분하다.

1. ${\mu }^{\ast }(\mathrm{\varnothing })=0$임은 ${\mu }^{\ast }$의 정의에 의해 자명하다.
2. $A\subseteq B$라 가정하자. 그러면,
   
   $$\begin{array}{rl}{\mu }^{\ast }(A)& =inf\left\{\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\rho (E_n)\right|A\subseteq \bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_n\}\\ & \le inf\left\{\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\rho (E_n)\right|B\subseteq \bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_n\}\\ & ={\mu }^{\ast }(B).\end{array}$$
   따라서 $\mu (A)\le \mu (B)$를 얻는다.
3. $\{A_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$이 임의의 집합열이라 하자. 만약 부등식 $(\ast )$에서 $\text{RHS}=\mathrm{\infty }$라면 부등식이 자명하게 성립하므로, $\text{RHS}<\mathrm{\infty }$라 가정하자. 그러면 모든 $n\in \mathbb{N}$에 대하여 ${\mu }^{\ast }(A_n)<\mathrm{\infty }$가 성립한다. 이제 각각의 ${\mu }^{\ast }(A_n)$에 대하여
   
   $${\mu }^{\ast }(A_n)=inf\left\{\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\rho (E_{n,m})\right|A_n\subseteq \bigcup _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_{n,m}\}$$
   라 할 수 있고 이 값들은 모두 유한(finite)이다.
   
   이제 $ϵ>0$을 잡자. 그러면 각각의 $n\in \mathbb{N}$에 대하여, (하한(infimum)의 성질에 의하여) $\mathcal{E}$ 안에서 적당한 집합열 $\{E_{n,m}{\}}_{m=1}^{\mathrm{\infty }}$가 존재하여
   
   $$A_n\subseteq \bigcup _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_{n,m}\text{and}{\mu }^{\ast }(A)\le \sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\rho (E_{n,m})\le {\mu }^{\ast }(A)+\frac{ϵ}{2^n}$$
   를 만족한다. 이제
   
   $$\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\subseteq \bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\bigcup _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_{n,m}.$$

   가 성립하므로 ${\mu }^{\ast }$의 성질과 조건 (2)에 의해
   

   $$\begin{array}{rl}{\mu }^{\ast }\left(\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\right)& \le {\mu }^{\ast }\left(\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\bigcup _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_{n,m}\right)\le \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\rho (E_{n,m})\\ & \le \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}({\mu }^{\ast }(A_n)+\frac{ϵ}{2^n})=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\mu }^{\ast }(A_n)+ϵ.\end{array}$$
   를 얻는다. 이 때, $ϵ>0$을 임의로 잡았으므로, 주어진 부등식 $(\ast )$를 만족한다.

함수 ${\mu }^{\ast }$는 외측도의 조건 (i), (ii), (iii)을 모두 만족하므로 ${\mu }^{\ast }$는 외측도이고 이로써 증명이 완료된다.