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실수와 복소수 사이의 이상한 관계
집합론을 배우면서 접하게 되는 (직관에 반하는) 정리 중의 하나는, R은 C의 진부분집합(proper subset)임에도 불구하고, R과 C의 기수(cardinality)가 같다는 사실이다. 따라서 집합론적인 관점에서는 R과 C를 같은 집합, 즉 동형(isomorphic)이라고 보아도 크게 문제가 없다. 하지만 이 두 집합 R과 C에 대수적 구조를 부여하게 되면 여러가지 재미있는 상황이 발생하게 되는데, 이번 글에서는 이를 정리해 보고자 한다. 단, 앞으로의 논의는 모두 선택공리(axiom of choice)를 전제하고 있다고 가정하자. 정리 1. R과 C를 각각 Q-벡터공간(Q-vector space)으로 보았을 때, 이 둘은 동형이다. ..
Algebra/Linear Algebra  |  2019. 7. 26. 08:56
일반화된 다항식의 나머지 정리(generalized polynomial remainder theorem)
다항식의 나눗셈 정리(polynomial division theorem)에 의하면 다음 사실이 성립한다: 서로 다른 두 다항식 f, g에 대하여 아래 다항식을 만족하는 두 다항식 q와 r이 유일하게 존재한다. f(x)=g(x)q(x)+r(x),(deg⁡(r)<deg⁡(g)) 이제 g(x)가 일차식이라 가정해 보자. 그러면 다음과 같은 방법으로 나머지 r(x)을 간단히 구할 수 있다: 먼저 일반성을 잃지 않고 g(x)=k(x−a)와 같이 나타내자. 또한 deg⁡(g)=1이므로 deg⁡(r)=0이어야만 하고 따라서 r(x)=c로 나타낼 수 있다. 그러면 위 나눗셈 정리를 다음과 같이 정리 된다. \[ f(x) = k(x-a)q(x)..
Algebra/Linear Algebra  |  2018. 5. 7. 23:32
벡터공간에서의 교환법칙(commutativity law)
체(field) F 위에서의 벡터공간 (real vector space) (V,+,⋅)이란 집합 V와 함께 벡터합 (vector addition)이라 불리는 연산 +:V×V→V by (x,y)↦x+y와 스칼라곱 (scalar multiplication)이라 불리는 연산 ⋅:F×V→V by (λ,x)↦λx이 정의 되어 아래의 8가지 공리를 만족하는 공간을 말한다. (A1) 모든 $x,\,..
Algebra/Linear Algebra  |  2016. 4. 7. 07:25
벡터공간(vector space)의 또 다른 예
실벡터공간 (real vector space)이란, 주어진 공간의 (벡터 (vector)라고 불리는) 임의의 원소들의 합과 임의의 원소의 실수배에 대하여 닫혀있는 공간을 말한다. 다시 말해 마음대로 두 원소를 더하거나 주어진 원소를 임의의 실수배 만큼 자유롭게 늘이거나 줄이는 것이 가능한 공간이다. 이 벡터 공간에 대한 재미있는 예가 있어서 이번에 소개해 보려고 한다. 실벡터공간 (vector space)의 정의와 예 먼저 실벡터공간에 대한 수학적인 정의에 대해서 살펴보자.정의. 실벡터공간 (real vector space) (V,+,⋅)이란 집합 V와 함께 벡터합 (vector addition)이라 불리는 연산 +:V×V→V by $(x,\,y) \m..
Algebra/Linear Algebra  |  2016. 3. 2. 08:14

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