벡터공간에서의 교환법칙(commutativity law)

체(field) $\mathbb{F}$ 위에서의 벡터공간 (real vector space) $(\mathcal{V},\, +,\, \cdot\,)$이란 집합 $\mathcal{V}$와 함께 벡터합 (vector addition)이라 불리는 연산 $+ : \mathcal{V} \times \mathcal{V} \to \mathcal{V}$ by $(x,\,y) \mapsto x+y$와 스칼라곱 (scalar multiplication)이라 불리는 연산 $\,\cdot\, : \mathbb{F} \times \mathcal{V} \to \mathcal{V}$ by $(\lambda,\,x) \mapsto \lambda x$이 정의 되어 아래의 8가지 공리를 만족하는 공간을 말한다.

(A1) 모든 $x,\,y,\,z \in \mathcal{V}$에 대하여, $(x+y)+z = x+(y+z)$.

(A2) 모든 $x,\,y \in \mathcal{V}$에 대하여, $x +y = y+x$.

(A3) 임의의 $x \in \mathcal{V}$에 대하여 $x+e = x$를 만족하는 원소 $e \in \mathcal{V}$가 존재한다.

(A4) 임의의 $x \in \mathcal{V}$에 대하여 $x' \in \mathcal{V}$가 존재하여, $x + (x') = e$를 만족한다.

(M1) 모든 $\lambda,\, \mu \in \mathbb{R}$과 $x \in \mathcal{V}$에 대하여, $\lambda(\mu x) = (\lambda\mu)x$.

(M2) 모든 $\lambda \in \mathbb{R}$과 $x,\,y \in \mathcal{V}$에 대하여, $\lambda(x+y) = \lambda x + \lambda y$.

(M3) 모든 $\lambda,\, \mu \in \mathbb{R}$과 $x \in \mathcal{V}$에 대하여, $(\lambda + \mu)x = \lambda x + \mu x$.

(M4) 모든 $x \in \mathcal{V}$에 대하여, $1x = x$.

보조정리, 보조정리, 보조정리...

여기서 공리 (A2), 즉, 두 벡터의 합에 관한 교환법칙(commutativity law)는 사실 다른 7개의 공리로부터 '증명'이 가능하다. 이 증명 과정을 간단히 한번 살펴보자. 먼저 다음의 보조정리들이 필요하다.

보조정리 1. (L1) 만약 $x + x' = e$이면, $x' + x = e$ 또한 성립한다.

증명. $x + x' = e$을 가정하면, $x' \in \mathcal{V}$이므로 역원 $x''$이 존재하여 $x' + x'' = e$이 성립한다. 따라서

\[ \begin{aligned} x' + x &\stackrel{\text{(A3)}}{=} (x' + x) + e \stackrel{\text{(A4)}}{=} (x' + x) + (x' + x'') \\ &\stackrel{\text{(A1)}}{=} x' + (x + x') + x'' \stackrel{\text{(A4)}}{=} x' + e + x'' \\ &\stackrel{\text{(A3)}}{=} x' + x'' \stackrel{\text{(A4)}}{=} e. \end{aligned} \]

그러므로 $x' + x = e$를 얻는다. ■

보조정리 2. (L2) 임의의 $x \in \mathcal{V}$에 대하여 $e + x = x$를 만족한다.

증명. 먼저 (A3)에 의해, $x + e = x$를 만족하는 $e \in \mathcal{V}$가 존재한다. 이제, (L1)을 이용하면,

\[ e + x \stackrel{\text{(A4)}}{=} (x + x') + x \stackrel{\text{(A1)}}{=} x + (x' + x) \stackrel{\text{(L1)}}{=} x + e \stackrel{\text{(A3)}}{=} x \]

따라서 $e + x = x$가 성립한다. ■

보조정리 3. (L3) 모든 $x \in \mathcal{V}$는 역원 $x' \in \mathcal{V}$는 유일하다.

증명. 두 원소 $x'_1 \in \mathcal{V}$과 $x'_2 \in \mathcal{V}$가 모두 $x \in \mathcal{V}$의 역원이라 가정하자. 그러면 $x + x'_1 = e = x + x'_2$가 성립한다. 이제 이 식의 양변의 왼쪽에 $x'_1$을 더해주고 (L1)과 (L2)를 적용하면,

\[ \begin{aligned} x'_1 + (x + x'_1) = x'_1 + (x + x'_2) &\stackrel{\text{(A1)}}{\implies} (x'_1 + x) + x'_1 = (x'_1 + x) + x'_2 \\ &\stackrel{\text{(L1)}}{\implies} e + x'_1 = e + x'_2 \\ &\stackrel{\text{(L2)}}{\implies} x'_1 = x'_2. \end{aligned} \]

따라서 $x$는 유일한 역원을 갖는다. ■

보조정리 4. (L4) 임의의 $x \in \mathcal{V}$에 대하여 $0x = e$.

증명. 먼저 $0x = (0+0)x \stackrel{\text{(M3)}}{=} 0x + 0x$를 얻는다. 이제 이 식의 양 변에 $0x$의 역원 $(0x)'$를 더해주면

\[ \begin{aligned} e \stackrel{\text{(A4)}}{=} 0x + (0x)' = ( 0x + 0x ) + (0x)' \stackrel{\text{(A1)}}{=} 0x + \big[ 0x + (0x)' \big] \stackrel{\text{(A4)}}{=} 0x + e \stackrel{\text{(A3)}}{=} 0x. \end{aligned} \]

따라서 $0x = e$가 성립한다. ■

보조정리 5. (L5) 임의의 $x \in \mathcal{V}$에 대하여 $(-1)x = x'$.

증명. $(-1)x$가 $x$의 역원임을 보이기 위하여, (L4)를 이용하면

\[ x + (-1)x \stackrel{\text{(M4)}}{=} 1x + (-1)x \stackrel{\text{(M2)}}{=} (1 + (-1))x = 0x \stackrel{\text{(L4)}}{=} e. \]

따라서 $(-1)x$은 $x$의 역원이 된다. 하지만 (L3)에 의해 $x$의 역원은 유일하므로, $x' = (-1)x$여야만 한다. ■

보조정리 6. (L6) 임의의 $x,\, y \in \mathcal{V}$에 대하여, 두 명제 $x = y$와 $x + y' = e$은 동치이다.

증명. 먼저 $x = y$를 가정하자. 그러면 간단히 $x + y' = x + x' \stackrel{\text{(A4)}}{=} e$를 얻는다.

이제 반대로 $x + y' = e$을 가정하자. 이 식의 양변의 오른쪽에 $y$를 더해주면 $(x + y') + y = e + y \stackrel{\text{(A3)}}{=} y$를 얻는다. 이제 보조정리 1 을 이용하면,

\[ y = (x + y') + y \stackrel{\text{(A1)}}{=} x + (y' + y) \stackrel{\text{(L1)}}{=} x + e \stackrel{\text{(A3)}}{=} x. \]

따라서 $x = y$를 얻는다. ■

교환법칙(commutativity law)의 증명

이제 위 보조정리들을 바탕으로 최종 목표인 교환법칙을 직접 증명해보자.

정리. 모든 $x,\,y \in \mathcal{V}$에 대하여, $x +y = y+x$.

증명. 우선 (L6)에 의하여, $(x +y) + (y+x)' = e$임을 보이면 충분하다. 이제, (L5)에 의해

\[ \begin{aligned} (x +y) + (y+x)' &\stackrel{\text{(L5)}}{=} (x +y) + \big[ (-1)(y+x) \big] \\ &\stackrel{\text{(M2)}}{=} (x +y) + \big[ (-1)y + (-1)x) \big] \\ &\stackrel{\text{(L5)}}{=} (x +y) + (y' + x') \\ &\stackrel{\text{(A1)}}{=} x + (y + y') + x' \\ &\stackrel{\text{(A4)}}{=} x + e + x' \\ &\stackrel{\text{(A3)}}{=} x + x' \\ &\stackrel{\text{(A4)}}{=} e. \end{aligned} \]

이제 (L6)을 적용하면, $x +y = y+x$를 얻는다. ■