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Problems and Solutions #037
Problem #037x2+y2=4를 만족하는 실수 x,y에 대하여 f(x,y)=15x2+8xy의 최솟값과 최댓값을 구하여라. 풀이 1. 다음과 같이 라그랑지 함수 L을 정의하자.L(x,y,λ)=15x2+8xy+λ(x2+y2−4)이제 위 함수를 x,y,λ에 대한 편미분을 구하여 0으로 두면, 다음의 연립 방정식을 얻는다. \begin{align} L_x(x,\,y,\,\lambda) &= 30x^2 + 8y + 2x\lambda = 0 \[5px] L_y(x,\,y,\,\lambda) &= 8x + 2y\lambda = 0 \[5px] L_{\lambda}(x,\,y,\..
Applied Mathematics/Optimization  |  2017. 9. 20. 23:43
극값 정리의 조건 완화 (2) 연속성(Continuity)
저번 글에서는 극값 정리의 조건 중 제약집합(constraint set)의 긴밀성(compactness)를 완화하는 방법에 대해서 살펴보았다. 이번 글에서는 극값 정리의 조건 중 목적함수(objective function)의 연속성(continuity)를 완화하는 방법에 대해서 살펴보고자 한다. 목적함수 f의 연속성(continuity) 먼저 연속성보다 약한 조건인 반연속성(semi-continuity)를 정의하자. 정의 2.1 (Lower Semi-continuity) 함수 f:Rn→R에 대하여, f가 아래의 두 동치인 조건 (1) 또는 (2) 중 하나를 만족하면 x∗로 수렴하는 임의의 수열 (xn)에 대하여 \[ f(x^*) \leq \liminf_n f(x_n)...
Applied Mathematics/Optimization  |  2016. 9. 28. 04:45
극값 정리의 조건 완화 (1) 긴밀성(Compactness)
실해석학에서 극값 정리(Extreme Value Theorem) 또는 최대-최소 정리(Max-Min Theorem)이라고 불리는 정리는 아래와 같다. 정리 (극값 정리 또는 최대-최소 정리) 집합 E⊆Rn를 긴밀집합(compact set)이라 하고 함수 f:E→R가 연속함수(continuous function)라 하자. 그러면 함수 f는 집합 E 안에서 언제나 최댓값(maximum)과 최솟값(minimum)을 갖는다. 다시 말해, 임의의 x∈E에 대하여 f(x∗)≤f(x)≤f(y∗)를 만족하는 x∗,y∗∈E가 존재한다. 이 정리에서 중요한 사실은 주어진 집합 E의 긴밀성(compactness)과 ..
Applied Mathematics/Optimization  |  2016. 9. 23. 05:19
Moreau의 정리
Projection on Closed Convex Sets (H,⟨⋅,⋅⟩) 를 Hilbert space라 하고 C∈H가 closed convex set이라 하자. (집합 C∈H가 임의의 x,y∈C와 t∈[0,1]에 대하여 tx+(1−t)y∈C를 만족할 때, C를 convex set이라 한다.) 그러면 C 위로의 projection mapping PC:H→C를 다음과 같이 정의한다: 임의의 x∈H에 대하여, y=PC(x)는 아래 식을 만족하는 해이다.‖x−y‖=minz∈C‖x−z‖.다시말해 x로부터 거리가 최소인 집..
Applied Mathematics/Optimization  |  2016. 4. 19. 12:28

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