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라플라스 변환(Laplace Transform) - 6. 합성곱(Convolution)
두 함수 합성곱(convolution)은 하나의 함수 f와 또 다른 함수 g를 반전 이동한 값을 곱한 다음, 구간에 대해 적분하여 새로운 함수를 구하는 수학 연산자이다. [정의 10. (Convolution)] 두 함수 f와 g에 대하여, f와 g의 합성곱(convolution)을 다음과 같이 정의한다.(f∗g)(t):=∫0tf(t)g(t−τ)dt 일반적으로 라플라스 변환은 분배법칙이 성립하지 않는다.L(fg)≠L(f)L(g)간단한 예로, 두 함수 f=et와 g=1를 보면,$$ \mathcal{L}(fg) = \frac{1}{s-1} \n..
Applied Mathematics/Differential Equations  |  2015. 5. 24. 02:32
라플라스 변환(Laplace Transform) - 5. 디랙 델타 함수(Dirac Delta Function)
디랙 델타 함수(Dirac Delta Function)는 이론물리학자 폴 디랙(Paul Dirac)이 고안해낸 함수로, δ(t)로 표기하며, 0이 아닌 실수에서는 0의 값을 가지지만 0에서는 무한대의 값을 가지는 함수를 말한다. 크로네커 델타(Kronecker delta)의 연속함수로도 볼 수 있다. 이 함수는 일반적인 의미에서의 함수는 아니지만, 수학의 많은 분야에 다양하게 응용된다. [정의 9] 아래와 같이 함수열(sequence of functions)을 정의하자.fk(t−a)={1k,a≤t≤a+k0,otherwise디랙 델타..
Applied Mathematics/Differential Equations  |  2015. 5. 24. 01:57
라플라스 변환(Laplace Transform) - 4. 단위 계단 함수(Unit Step Function)
단위 계단 함수(unit step function) 또는 헤비사이드 계단 함수(Heaviside step function)은 0보다 작은 실수에 대해서 0, 0보다 큰 실수에 대해서 1, 0에 대해서 1/2의 값을 갖는 함수이다. 일반적으로, 다음과 같이 정의한다. [정의 7 (Unit Step Function)] a≥0라 하자. 단위 계단 함수(unit step function)을 다음과 같이 정의한다.u(t−a):={0,ta1/2,t=a 우선 간단히 다음을 확인할 수 있다.$$ \begin{aligned} \mathcal..
Applied Mathematics/Differential Equations  |  2015. 5. 24. 01:15
라플라스 변환(Laplace Transform) - 3. 미분방적식
다음과 같은 미분방정식(ordinary differential equation, ODE)를 생각해 보자.{y″+ay′+by=r(t)y(0)=k0, y′(0)=k1이 때, Y=L(y), R=L(r(t))라 정의하면,$$ \begin{aligned} s^2Y & - sy(0) - s^2y'(0) + a(sY - y(0)) + bY = R \ & \Rightarrow (s^2 + as + b)Y = (s+a)y(0) + y'(0) + R \ & \Rightarrow Y = Q((s+a)y(0) + y'(0) + R) \ & \qquad \qquad \text{wher..
Applied Mathematics/Differential Equations  |  2015. 5. 23. 23:51
라플라스 변환(Laplace Transform) - 2. 기본 성질
라플라스 변환(Laplace transform)의 기본 성질들에 대해서 알아보자. [정리 3]L(eatf(t))=F(s−a)andeatf(t)=L−1(F(s−a))(s−a>t)[증명] 라플라스 변환의 정의에 의해 다음을 얻는다.L(eatf(t))=∫0∞e−steatf(t)dt=∫0∞e−(s−a)tf(t)dt=F(s−a).(s−a>t) [예제 7] 위의..
Applied Mathematics/Differential Equations  |  2015. 5. 23. 14:28

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