라플라스 변환(Laplace Transform) - 4. 단위 계단 함수(Unit Step Function)

단위 계단 함수(unit step function) 또는 헤비사이드 계단 함수(Heaviside step function)은 $0$보다 작은 실수에 대해서 $0$, $0$보다 큰 실수에 대해서 $1$, $0$에 대해서 $1/2$의 값을 갖는 함수이다. 일반적으로, 다음과 같이 정의한다.

[정의 7 (Unit Step Function)] $a \geq 0$라 하자. 단위 계단 함수(unit step function)을 다음과 같이 정의한다.

$$ u(t-a) := \begin{cases} 0, & \qquad t < a \\ 1, & \qquad t > a  \\ 1/2, & \qquad t = a \end{cases} $$

우선 간단히 다음을 확인할 수 있다.

$$ \begin{aligned} \mathcal{L}(u(t-a)) & = \int_{0}^{\infty} e^{-st} u(t-a) \, dt \\ & = \int_{a}^{\infty} e^{-st} \, dt \\ & = -\frac{1}{s} e^{-st} \bigg|_{a}^{\infty} \\ & = \frac{1}{s} a^{-as} \end{aligned} $$

[정리 8] 임의의 함수 $f$에 대하여 다음이 성립한다.

$$ \begin{aligned} \mathcal{L}(f(t-a)u(t-a)) & = e^{-as}F(s), \\ \mathcal{L}^{-1}(e^{-as}F(s)) & = f(t-a)u(t-a). \end{aligned} $$

[증명] 직접 계산을 통해 간단히 확인 가능하다.

$$ \begin{aligned} e^{-as}F(s) & = e^{-as} \int_{0}^{\infty} e^{-s \tau} f(\tau) \, d\tau & \\& = \int_{0}^{\infty} e^{-s (\tau+a)} f(\tau) \, d\tau \\ & = \int_{a}^{\infty} e^{-st} {f(t-a)} \, dt \qquad \qquad (\tau + a = t) \\ & = \int_{0}^{\infty} f(t-a)u(t-a) \, dt \\ & = \mathcal{L}(f(t-a)u(t-a)) \end{aligned} $$

[예제 14] 함수 $f$를 아래와 같이 정의하자.

$$ f(t) = \begin{cases} 2, & \qquad 0<t<1 \\ \frac{1}{2}t^2, & \qquad 1<t<\frac{\pi}{2} \\ \cos t, & \qquad t > \frac{\pi}{2} \end{cases} $$

그러면, 

$$ \begin{aligned} f(t) & = 2[1-u(t-1)] + \tfrac{1}{2}t^2[u(t-1)-u(t-\tfrac{\pi}{2})] + \cos t u(t-\tfrac{\pi}{2}) \\ & = \underbrace{2[1-u(t-1)]}_{(1)} + \underbrace{\tfrac{1}{2}t^2 u(t-1)}_{(2)} - \underbrace{\tfrac{1}{2}t^2 u(t-\tfrac{\pi}{2})}_{(3)} + \underbrace{\cos t u(t-\tfrac{\pi}{2})}_{(4)} \end{aligned} $$

이제, 우변의 각 항을 각각 풀어주면,

$$ \begin{aligned} (1) \ 2 \left( \frac{1}{s} - \frac{1}{s}e^{-s} \right) \hspace{25em} \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} (2) \ \frac{t^2}{2} u(t-1) & = \frac{(t-1+1)^2}{2} u(t-1) \hspace{17em} \\ & = \left[ \frac{(t-1)^2}{2} + (t-1) + \frac{1}{2} \right] u(t-1) \\ & \Rightarrow e^{-s}\left( \frac{1}{s^3} + \frac{1}{s^2} + \frac{1}{2s} \right) \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} (3) \ \frac{t^2}{2} u(t-\tfrac{\pi}{2}) & = \left[ \frac{(t-\tfrac{\pi}{2})^2}{2} + (t-\tfrac{\pi}{2}) + \frac{\pi^2}{8} \right] u(t-\tfrac{\pi}{2}) \hspace{10em} \\ & \Rightarrow e^{-\tfrac{\pi}{2}s} \left( \frac{1}{s^3} + \frac{1}{s^2} + \frac{\pi^2}{8}\frac{1}{s} \right) \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} (4) \ \cos t u(t - \tfrac{\pi}{2}) & = -\sin(t - \tfrac{\pi}{2})u(t-\tfrac{\pi}{2}) \hspace{14em} \\ & \Rightarrow -e^{\tfrac{\pi}{2}s}\frac{1}{s^2 + 1} & \end{aligned} $$

따라서, $\mathcal{L}(f) = (1) + (2) - (3) + (4)$.

[예제 15] 함수 $F$를 다음과 같다고 하자.

$$ F(s) = \frac{e^{-s}}{s^2 + \pi^2} + \frac{e^{-2s}}{s^2 + \pi^2} + \frac{e^{-3s}}{(s+2)^2} $$

다음이 성립하므로,

$$ \begin{aligned} \mathcal{L}^{-1}\left( \frac{1}{s^2 + \pi^2} \right) & = \frac{1}{\pi} \sin \pi t \qquad \text{and} \\ \mathcal{L}^{-1}\left( \frac{1}{(s+2)^2} \right) & = e^{-2t} t, \end{aligned} $$

아래 식을 얻는다.

$$ \begin{aligned} f(t) & = \frac{1}{\pi} \sin \pi(t-1) u(t-1) + \frac{1}{\pi} \sin \pi(t-2) u(t-2) + e^{-2(t-3)} (t-3) u(t-3) \\ & = \begin{cases} 0, & \quad 0 < t < 1 \\ -\tfrac{1}{\pi} \sin \pi t, & \quad 1 < t < 2 \\ 0, & \quad 2 < t < 3 \\ e^{-2(t-3)} (t-3), & \quad t > 3 \end{cases} \end{aligned} $$