라플라스 변환(Laplace Transform) - 2. 기본 성질

라플라스 변환(Laplace transform)의 기본 성질들에 대해서 알아보자.

[정리 3]

$$ \mathcal{L}(e^{at}f(t)) = F(s-a) \qquad \text{and} \qquad e^{at}f(t) = \mathcal{L}^{-1}(F(s-a)) \qquad \qquad (s-a>t) $$

[증명] 라플라스 변환의 정의에 의해 다음을 얻는다.

$$ \begin{aligned} \mathcal{L}(e^{at}f(t)) & = \int_{0}^{\infty} e^{-st} e^{at} f(t) \, dt \\ & = \int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t} f(t) \,dt \\ & = F(s-a). \qquad (s-a>t) \end{aligned} $$

[예제 7] 위의 정리 1.3.에 의하여,

$$ \begin{aligned} \mathcal{L}(e^{at}\cos wt ) & = \frac{s-a}{(s-a)^2 + w^2} \\ \mathcal{L}(e^{at}\sin wt ) & = \frac{w}{(s-a)^2 + w^2} \end{aligned} $$

지금까지 라플라스 변환에 대한 정의와, 실제 몇 가지 기본적인 함수에 대해서 직접 라플라스 변환을 구해 보았다. 하지만, 그렇다고 해서 임의의 함수 $f$에 대한 라플라스 변환의 존재성은 보장되지 않는다. 따라서 아래 존재성에 관한 정리가 필요하다.

[정리 4] 함수 $f(t)$가 조각적으로 연속(piecewise continuous)이고 다음의 부등식 $|f(t)| \leq M e^{kt}$을 만족한다고 가정하자. 그러면 $s > k$에 대하여, $f$의 라플라스 변환 $\mathcal{L}(f(t))$이 항상 존재한다.

[증명] $s>k$라 하면,

$$ \begin{aligned} |\mathcal{L}(f)| & = \left| \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \, dt \right| \\ & \leq \int_{0}^{\infty} e^{-st} |f(t)| \, dt \\ & \leq M \int_{0}^{\infty} e^{-st} e^{-kt} \, dt = \frac{M}{s-k}. \end{aligned} $$

따라서 \(\mathcal{L}(f)\)이 존재한다. 

위 정리는 충분조건(sufficient condition)이지만 필요조건(necessary condition)은 아니다. 예를들어, 함수 $f(t)=e^{t^2}$는 정리의 부등식을 만족하지 않지만, $\mathcal{L}(e^{t^2})$가 존재한다.

다음 정리는 함수 $f$의 도함수(derivative)와 라플라스 변환과의 관계를 보여준다.

[정리 5] 함수 $f(t)$가 $t \geq 0$인 범위에서 연속(continuous)이고 다음의 부등식 $|f(t)| \leq M e^{kt}$을 만족한다고 하자. 또한 도함수 $f'(t)$가 $t \geq 0$인 범위에서 조각적으로 연속(piecewise continuous)이라고 하자. 그러면 $\mathcal{L}(f'(t))$이 존재하고 다음 등식이 성립한다.

$$ \mathcal{L}(f'(t)) = s \mathcal{L}(f) - f(0) $$

[증명] 부분적분(integration by parts)에 의해,

$$ \begin{aligned} \mathcal{L}(f') & = \int_{0}^{\infty} e^{-st}f'(t) \, dt \\ & = e^{-st}f(t) \bigg|_{0}^{\infty} + s \int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t) \,\ dt \\ & = -f(0) + s \mathcal{L}(f) \end{aligned} $$

같은 방법으로, $\mathcal{L}(f'')$ 또한 구할 수 있다.

$$ \begin{aligned} \mathcal{L}(f'') & = s \mathcal{L}(f') - f'(0) \\ & = s \left[ s \mathcal{L}(f) - f(0) \right] - f'(0) \\ & = s^2 \mathcal{L}(f) - s f(0) - f'(0) \end{aligned} $$

일반적으로 수학적 귀납법에 의해

$$ \begin{aligned} \mathcal{L}(f^{(n)}) & = s^n \mathcal{L}(f) - s^{n-1}f(0) - s^{n-2}f'(0) - \cdots - f^{(n-1)}(0). \end{aligned} $$

[예제 8] 이번에는 정리 1.5를 이용하여 $\cos wt$의 라플라스 변환을 구해보자. $f(t) = \cos wt$라 정의하면,

$$ f'(t) = -w\sin wt, \qquad f''(t) = -w^2\cos wt $$ 

이므로, \(\mathcal{L}(f'')\)를 두가지 방법으로 구할 수 있다.

$$ \begin{aligned} \mathcal{L}(f'') & = -w^2 \mathcal{L}(\cos wt ) & \text{(by def)} \\ & = s^2 \mathcal{L}(\cos wt ) - s & \text{(by thm)} \end{aligned} $$

따라서,

$$ -w^2 \mathcal{L}(\cos wt ) = s^2 -w^2 \mathcal{L}(\cos wt ) - s $$

위 등식을 정리하면 $\mathcal{L}(\cos wt ) = s/(s^2 + w^2)$을 얻는다.

[예제 9] 마찬가지 방법으로,

$$ \begin{aligned} \mathcal{L}(f') & = -w \mathcal{L}(\sin wt)) & \text{(by def)} \\ & = s \mathcal{L}(\cos wt ) - 1 & \text{(by thm)} \end{aligned} $$

를 얻고, 따라서

$$ -w \mathcal{L}(\sin wt) = \frac{s}{s^2 + w^2} - 1 = \frac{-w^2}{s^2 + w^2}, $$

그러므로 $\mathcal{L}(\cos wt ) = w/(s^2 + w^2)$을 얻는다.

이번에는 함수 $f$의 부정적분(indefinite integral)과 라플라스 변환과의 관계를 알아보자.

[정리 6] 함수 $f(t)$가 $t \geq 0$인 범위에서 조각적으로 연속(piecewise continuous)이고 다음의 부등식 $|f(t)| \leq M e^{kt}$을 만족한다고 가정하자. 그러면, $s>0$, $s>k$, 그리고 $t>0$에 대하여

$$ \begin{aligned} \mathcal{L}\left( \int_{0}^{t} f(x) \,dx \right) & = \frac{1}{s}F(s) \\ \mathcal{L}^{-1}\left( \frac{1}{s}F(s) \right) & = \int_{0}^{t} f(x) \,dx \end{aligned} $$

[증명] $g(t) =  \int_{0}^{t} f(x) \,dx$라 하면 $g$는 $t \geq 0$인 범위에서 연속이고 $g'=f$임을 알 수 있다. 또한,

$$ \begin{aligned} |g(t)| & \leq \left| \int_{0}^{t} f(x) \,dx \right| \leq \int_{0}^{t} |f(x)| \,dx \\ &= \int_{0}^{t} Me^{kx} \,dx = \left. \frac{M}{k}e^{kt} \right|_{\,0}^{\,t} \\ &= \frac{M}{k}(e^{kt}-1) \\ & < \frac{M}{k}e^{kt} \end{aligned} $$

여기서 정리 1.5를 적용하면,

$$ \begin{aligned} \mathcal{L}(g') = s \mathcal{L}(g) - g(0). \end{aligned} $$

따라서,

$$ \begin{aligned} \mathcal{L}(g) = \frac{1}{s}\mathcal{L}(g') = \frac{1}{s}\mathcal{L}(f) = \frac{1}{s}F(s). \end{aligned} $$

[예제 10] 

$$ \begin{aligned} \mathcal{L}^{-1}\left( \frac{1}{s(s^2 + w^2)} \right) & = \int_{0}^{t} \frac{1}{w} \sin w\tau \,d\tau \\ & = \left. \frac{1}{w^2} (-\cos w\tau ) \right|_{0}^{t} \\ & = \frac{1}{w^2}(1-\cos wt ). \end{aligned} $$

[예제 11]

$$ \begin{aligned} \mathcal{L}^{-1}\left( \frac{1}{s^2(s^2 + w^2)} \right) & = \int_{0}^{t} \frac{1}{w^2} (1- \sin w\tau ) \,d\tau \\ & = \left. \frac{1}{w^2} \left(\tau - \frac{1}{w} \sin w\tau \right) \right|_{0}^{t} \\ & = \frac{1}{w^3}(wt - \sin wt). \end{aligned} $$