라플라스 변환(Laplace Transform) - 3. 미분방적식

다음과 같은 미분방정식(ordinary differential equation, ODE)를 생각해 보자.

$$ \begin{cases} y'' + ay' + by = r(t) \\ y(0) = k_0, \ y'(0) = k_1 \end{cases} $$

이 때, $Y = \mathcal{L}(y)$, $R = \mathcal{L}(r(t))$라 정의하면,

$$ \begin{aligned} s^2Y & - sy(0) - s^2y'(0) + a(sY - y(0)) + bY = R \\ & \Rightarrow (s^2 + as + b)Y = (s+a)y(0) + y'(0) + R \\ & \Rightarrow Y = Q((s+a)y(0) + y'(0) + R) \\ & \qquad \qquad \text{where } Q = (s^2 + as + b)^{-1} \\ & \Rightarrow Y = \mathcal{L}^{-1}(Y) \end{aligned} $$

여기에 역 라플라스 변환(inverse Laplace transform)을 취함으로서 주어진 미분방정식의 해 $y$를 구할 수 있다. 만약 주어진 초기조건(initial condition)이 $y(0) = y'(0) = 0$ 이라면, $Y=QR$이 된다. 다시 말해,

$$ Q = \frac{Y}{R} = \frac{\mathcal{L}(\text{output})}{\mathcal{L}(\text{input})} $$

[예제 12] 다음의 미분방정식:

$$ \begin{cases} y'' - y = t, \\ y(0)=1, \ y'(0) = 1. \end{cases} $$

을 살펴보자. 위 방정식의 양변에 라플라스 변환을 취하면,

$$ \begin{aligned} & \Rightarrow s^2Y - s - 1 - Y = \frac{1}{s^2} \\ & \Rightarrow Y = \frac{1}{s-1} + \frac{1}{s^2-1} - \frac{1}{s^2} \end{aligned} $$

이제 다시 역 라플라스 변한을 취함으로써,

$$ \begin{aligned} & \Rightarrow y = e^t + \sinh t - t \end{aligned} $$

[예제 13 다음의 미분방정식:

$$ \begin{cases} y'' + y = 2t, \\ y(\frac{\pi}{4})=\tfrac{\pi}{2}, \ y'(\tfrac{\pi}{4})= 2-\sqrt{2}. \end{cases} $$

을 살펴보자. 먼저 $\tilde{t} = t - \pi/4$로 변환하면, 

$$ \begin{aligned} \tilde{y}'' + \tilde{y} = 2 \left( \tilde{t} + \frac{\pi}{4} \right) = 2 \tilde{t} + \frac{\pi}{2} \end{aligned} $$

여기에 라플라스 변환을 취함으로써,

$$ \begin{aligned} s^2Y & - \frac{\pi}{2}s - (2-\sqrt{2}) + Y = \frac{2}{s^2} + \frac{\pi}{2s} \\ & \Rightarrow (s^2+1)Y = \frac{2}{s^2} + \frac{\tfrac{\pi}{2}}{s} + \frac{\pi}{2}s + (2-\sqrt{2}) \\ & \Rightarrow Y = 2 \left( \frac{1}{s^2} - \frac{1}{s^2+1} \right) + \frac{\pi}{2}\left( \frac{1}{s^2} - \frac{s}{s^2+1} \right) + \frac{\tfrac{\pi}{2}s + (2-\sqrt{2})}{s^2+1} \end{aligned} $$

이제 다시 양변에 역 라플라스 변한을 취하면,

$$ \begin{aligned} \tilde{y} & = 2(\tilde{t}-\sin \tilde{t}) + \frac{\pi}{2}(1-\cos\tilde{t}) + \frac{\pi}{2}\cos \tilde{t} - (2-\sqrt{2})\sin \tilde{t} \\ & = 2\tilde{t} + \frac{\pi}{2} - \sqrt{2} \sin \tilde{t} \end{aligned} $$

마지막으로, $\tilde{t} = t - \pi/4$을 위 식에 다시 대입해주면

$$ \begin{aligned} y & = 2t - \sqrt{2} \sin\left(t-\frac{\pi}{4}\right) \\ & = 2t - \sqrt{2}\left( \sin t \cos \frac{\pi}{4} - \cos t \sin \frac{\pi}{4}\right) \\ & = 2t - \sin t + \cos t \end{aligned} $$