라플라스 변환(Laplace Transform) - 1. 정의와 예제

라플라스 변환(Laplace)은 적분 변환(Integral transform)의 일종으로 피에르시몽 라플라스 (Pierre-Simon Laplace)의 이름을 따 붙여졌다. 라플라스 변환을 이용하면, 미분 방정식을 계수방정식으로 변환하여, 문제들을 쉽게 해결 할 수 있는 장점이 있다. 초기값 문제의 경우 일차적으로 일반해를 구하는 단계가 필요없게 되고, 비제차 미분방정식의 경우에는 대응하는 제차미분방정식을 먼저 풀 필요가 없다. 

[정의 1] 주어진 함수 $f(x)$와 시간 $t\ge 0$에 대하여 $f$의 라플라스 변환을 다음과 같이 정의한다. 

$$F(s)=\mathcal{L}(f):={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-st}f(t)dt$$

이 때, $s$는 복소수 값을 갖는다.

[예제 1] $f(t)=1$이라 하자. 그러면 라플라스 변환의 정의에 의해,

$$\mathcal{L}(1)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}dt=-\frac{1}{s}{e}^{-st}{|}_0^{\mathrm{\infty }}=\frac{1}{s}(s>0).$$

[예제 2] $f(t)=e^{at}$라 하자. (이 때, $a\in \mathbb{R}$). 그러면,

$$\mathcal{L}(e^{at})={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{at}dt=\frac{1}{a-s}{e}^{-(s-a)t}{|}_0^{\mathrm{\infty }}=\frac{1}{s-a}(s>a).$$

라플라스 변환은 적분을 통해 정의되므로, 간단히 아래 정리를 확인할 수 있다.

[정리 2] 라플라스 변환은 선형적(linear)이다. 즉, 임의의 실수 $a,b\in \mathbb{R}$와 함수 $f,g$에 대하여

$$\mathcal{L}(\alpha f+\beta g)=\alpha \mathcal{L}(f)+\beta \mathcal{L}(g).$$

[증명] 라플라스 변환의 정의과 적분의 선형성에 의해,

$$\begin{array}{rl}\mathcal{L}(\alpha f+\beta g)& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}(\alpha f+\beta g)dt\\ & =\alpha {\int }_0^{\mathrm{\infty }}fdt+\beta {\int }_0^{\mathrm{\infty }}gdt\\ & =\alpha \mathcal{L}(f)+\beta \mathcal{L}(g).\end{array}$$

임을 간단히 보일 수 있다. ■

[예제 3] 쌍곡선 함수(Hyperbolic Function)의 라플라스 변환에 대해 살펴보자.

$$\begin{array}{rl}\mathcal{L}(\cosh at)& =\mathcal{L}\left(\frac{e^{at}+e^{-at}}{2}\right)\\ & =\frac{1}{2}\mathcal{L}(e^{at})+\frac{1}{2}\mathcal{L}(e^{-at})\\ & =\frac{1}{2}\frac{1}{s-a}+\frac{1}{2}\frac{1}{s+a}\\ & =\frac{s}{s^2-a^2}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}\mathcal{L}(\sinh at)& =\mathcal{L}\left(\frac{e^{at}-e^{-at}}{2}\right)\\ & =\frac{1}{2}\mathcal{L}(e^{at})-\frac{1}{2}\mathcal{L}(e^{-at})\\ & =\frac{1}{2}\frac{1}{s-a}-\frac{1}{2}\frac{1}{s+a}\\ & =\frac{a}{s^2-a^2}\end{array}$$

[예제 4] 복소수를 이용하면, $\sin wt$와 $\cos wt$의 라플라스 변환을 구할 수 있다. 먼저,

$$\begin{array}{rl}\mathcal{L}(\cos wt)+i\mathcal{L}(\sin wt)& =\mathcal{L}(e^{iwt})\\ & =\frac{1}{s-wi}\\ & =\frac{s+iw}{s^2+w^2}\\ & =\frac{s}{s^2+w^2}+i\frac{w}{s^2+w^2}\end{array}$$

따라서 실수부와 허수부를 각각 비교하면,

$$\mathcal{L}(\cos wt)=\frac{s}{s^2+w^2},\mathcal{L}(\sin wt)=\frac{w}{s^2+w^2}.$$

[예제 5] 임의의 정수 $n=0,1,2,3,\cdots$에 대하여,

$$\begin{array}{rl}\mathcal{L}(t^n)& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{n}dt\\ & =-\frac{1}{s}{e}^{-st}{t}^n{|}_0^{\mathrm{\infty }}+\frac{n}{s}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{n-1}dt\\ & =\frac{n}{s}\mathcal{L}(t^{n-1})=\cdots =\frac{n!}{s^n}\mathcal{L}(t^0)=\frac{n!}{s^{n+1}}.\end{array}$$

[예제 6] 양의 실수 $a>0$에 대하여 $t^a$의 라플라스 변환을 살펴보자. 먼저 감마 함수(Gamma function)의 정의를 보면,

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Gamma }(a)& :={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x}{x}^{a-1}dx\\ \mathrm{\Gamma }(a+1)& =a\mathrm{\Gamma }(a),\mathrm{\Gamma }(n)=(n-1)!\end{array}$$

따라서, 감마 함수를 이용하여 $t^a$의 라플라스 변환을 구할 수 있다.

$$\begin{array}{rl}\mathcal{L}(t^a)& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{a}dt\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^x{\left(\frac{x}{s}\right)}^a\frac{1}{s}dx(x=-st)\\ & =\frac{1}{s^{a+1}}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x}{x}^{a}dx\\ & =\frac{1}{s^{a+1}}\mathrm{\Gamma }(a+1).\end{array}$$