라플라스 변환(Laplace Transform) - 1. 정의와 예제

라플라스 변환(Laplace)은 적분 변환(Integral transform)의 일종으로 피에르시몽 라플라스 (Pierre-Simon Laplace)의 이름을 따 붙여졌다. 라플라스 변환을 이용하면, 미분 방정식을 계수방정식으로 변환하여, 문제들을 쉽게 해결 할 수 있는 장점이 있다. 초기값 문제의 경우 일차적으로 일반해를 구하는 단계가 필요없게 되고, 비제차 미분방정식의 경우에는 대응하는 제차미분방정식을 먼저 풀 필요가 없다. 

[정의 1] 주어진 함수 $f(x)$와 시간 $t \geq 0$에 대하여 $f$의 라플라스 변환을 다음과 같이 정의한다. 

$$ F(s) = \mathcal{L}(f) := \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \, dt $$

이 때, $s$는 복소수 값을 갖는다.

[예제 1] $f(t)=1$이라 하자. 그러면 라플라스 변환의 정의에 의해,

$$ \mathcal{L}(1) = \int_{0}^{\infty} \, dt = - \frac{1}{s} e^{-st} \bigg|_{0}^{\infty} = \frac{1}{s} \qquad (s>0). $$

[예제 2] $f(t) = e^{at}$라 하자. (이 때, $a \in \mathbb{R}$). 그러면,

$$ \mathcal{L}(e^{at}) = \int_{0}^{\infty} e^{at} \, dt = \frac{1}{a-s}e^{-(s-a)t} \bigg|_{0}^{\infty} = \frac{1}{s-a} \qquad (s>a). $$

라플라스 변환은 적분을 통해 정의되므로, 간단히 아래 정리를 확인할 수 있다.

[정리 2] 라플라스 변환은 선형적(linear)이다. 즉, 임의의 실수 $a,b \in \mathbb{R}$와 함수 $f,g$에 대하여

$$ \mathcal{L}(\alpha f + \beta g) = \alpha \mathcal{L}(f) + \beta \mathcal{L}(g). $$

[증명] 라플라스 변환의 정의과 적분의 선형성에 의해,

$$ \begin{aligned} \mathcal{L}(\alpha f + \beta g) & = \int_{0}^{\infty} (\alpha f + \beta g) \, dt \\ & = \alpha \int_{0}^{\infty} f \, dt + \beta \int_{0}^{\infty} g \, dt \\ & = \alpha \mathcal{L}(f) + \beta \mathcal{L}(g). \end{aligned} $$

임을 간단히 보일 수 있다. ■

[예제 3] 쌍곡선 함수(Hyperbolic Function)의 라플라스 변환에 대해 살펴보자.

$$ \begin{aligned} \mathcal{L}(\cosh at) & = \mathcal{L} \left( \frac{e^{at}+e^{-at}}{2} \right) \\ & = \frac{1}{2} \mathcal{L}(e^{at}) + \frac{1}{2} \mathcal{L}(e^{-at}) \\ & = \frac{1}{2} \frac{1}{s-a} + \frac{1}{2} \frac{1}{s+a} \\ & = \frac{s}{s^2 - a^2} \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \mathcal{L}(\sinh at) & = \mathcal{L} \left( \frac{e^{at}-e^{-at}}{2} \right) \\ & = \frac{1}{2} \mathcal{L}(e^{at}) - \frac{1}{2} \mathcal{L}(e^{-at}) \\ & = \frac{1}{2} \frac{1}{s-a} - \frac{1}{2} \frac{1}{s+a} \\ & = \frac{a}{s^2 - a^2} \end{aligned} $$

[예제 4] 복소수를 이용하면, $\sin wt$와 $\cos wt$의 라플라스 변환을 구할 수 있다. 먼저,

$$ \begin{aligned} \mathcal{L}(\cos wt ) + i\mathcal{L}(\sin wt) & = \mathcal{L}(e^{iwt}) \\ & = \frac{1}{s-wi} \\ & = \frac{s+iw}{s^2 + w^2} \\ & = \frac{s}{s^2 + w^2} + i \frac{w}{s^2 + w^2} \end{aligned} $$

따라서 실수부와 허수부를 각각 비교하면,

$$ \mathcal{L}(\cos wt ) = \frac{s}{s^2 + w^2}, \quad \mathcal{L}(\sin wt) = \frac{w}{s^2 + w^2}. $$

[예제 5] 임의의 정수 $n=0,1,2,3,\cdots$에 대하여,

$$ \begin{aligned} \mathcal{L}(t^n) & = \int_{0}^{\infty} {t^n} \, dt \\ & = -\frac{1}{s}e^{-st}t^n \bigg|_{0}^{\infty} + \frac{n}{s} \int_{0}^{\infty} t^{n-1} \, dt \\ & = \frac{n}{s} \mathcal{L}(t^{n-1}) = \cdots = \frac{n!}{s^n} \mathcal{L}(t^0) = \frac{n!}{s^{n+1}}. \end{aligned} $$

[예제 6] 양의 실수 $a>0$에 대하여 $t^a$의 라플라스 변환을 살펴보자. 먼저 감마 함수(Gamma function)의 정의를 보면,

$$ \begin{aligned} \Gamma(a) & := \int_{0}^{\infty} e^{-x}x^{a-1} \,dx \\ \Gamma(a+1) & = a \Gamma(a), \quad \Gamma(n) = (n-1)! \end{aligned} $$

따라서, 감마 함수를 이용하여 $t^a$의 라플라스 변환을 구할 수 있다.

$$ \begin{aligned} \mathcal{L}(t^a) & = \int_{0}^{\infty} t^a \, dt \\ & = \int_{0}^{\infty} e^x \left(\frac{x}{s}\right)^a \frac{1}{s} \,dx \qquad (x=-st) \\ & = \frac{1}{s^{a+1}} \int_{0}^{\infty} e^{-x}x^a \,dx \\ & = \frac{1}{s^{a+1}} \Gamma(a+1). \end{aligned} $$