jjycjn's Math Storehouse

$(X,\, \norm{\cdot})$가 노름공간(finite dimensional normed vector space)이라 하자. 그러면 하이네-보렐 정리(Heine-Borel theorem)에 의해 다음 사실이 성립한다. 정리. 하이네-보렐 정리(Heine-Borel theorem) $X$가 유한차원이면, 임의의 부분집합 $S$에 대하여 다음이 동치이다. $S$는 닫힌 집합(closed set)이면서 동시에 유계(bounded)인 집합이다. $S$는 긴밀집합(compact set)이다. 일반적으로 임의의 노름공간 $(X,\, \norm{\cdot})$에서 집합 $S$가 긴밀집합이면, 언제나 $S$는 닫힌 유계집합이다. 이는 긴밀집합의 정의를 통해 간단히 보일 수 있다. 하이네-보렐 정리는 위 $X$가..

이전 글에서 우리가 흔히 위상수학이라고 부르는 일반위상수학(general topology) 또는 점-집합 위상수학(point-set topology)은 최소한의 공리로부터 시작하여 집합 위에서의 극한 및 연속성을 잘 정의하기 위해서 시작한 수학의 한 분야임을 살펴 보았다. 이를 다시 한번 확인해 보자. 우선 직관적으로 주어진 함수가 연속이려면, $x$와 $y$의 거리가 충분히 가까우면, 함수값 $f(x)$와 $f(y)$의 값도 가까워야 한다. 예를 들어 아래와 같이 정의된 함수는 연속이 아니다. $x$와 $y$ 사이의 거리가 아무리 가깝더라도 $y$가 $x$보다 조금이라도 크다면, $f(x)$와 $f(y)$ 사이의 거리가 절대 가까워 질 수 없기 떄문이다. 이러한 사실을 거리공간(metric space)..

위상수학은 무엇을 공부하는 학문일까? 오늘은 위상수학(topology)에 대한 일반적인 얘기로 시작해 보려고 한다. 우리가 흔히 학부 수준에서 접하는 위상수학은 사실 일반위상수학(general topology) 또는 점-집합 위상수학(point-set topology)으로 불리는 위상수학의 한 하위 분야로서, 주로 집합의 위상적 성질을 다루는 학문이다. 따라서 누군가가 우리에게 "위상수학은 뭘 공부하는 학문이야?" 라고 물어봤을 때 할수 있는 잘 알려진 대답인, "주어진 대상을 자르거나 붙이지 않고 변화시켜서 다른 대상으로 바꾸어도 변하지 않는 성질들을 연구하는 학문이야." 라고 말하면, 사실 엄밀하게 말하면 반은 맞고 반은 틀린 대답이 된다. 위상수학이 이러한 성질들을 연구하는 학문인건 맞지만, 우리가..

조밀성(Compactness)은 위상수학 분야에서 가장 중요한 개념중의 하나이다. 하지만 처음 조밀성에 대한 정의를 처음 접할땐, 그 중요성이 한 눈에 와 닿지는 않는게 사실이다. 그것은 아마 다른 개념들과는 (예를 들어, 연속성(Continuity)이나 연결성(Connectedness) 등) 다르게 그 개념이 쉽게 가시적으로 눈에 들어오지 않기 때문일 것이다. 조밀성이란, 어떠한 위상 $X$의 임의의 열린 덮개(open cover)가 항상 유한한 부분 덮개(subcover)를 가짐을 말한다. 이를 수학적인 용어로 다시 표현해 보자. $X$의 열린 집합들의 모임 $\{U_{\alpha}\}_{\alpha \in A}$가 다음을 만족한다고 하자. (이때, $A$는 유한, 가산, 비가산 모두 상관 없다)\[..