수학적 귀납법 (Mathematical Induction) - 3. 위상적 귀납법과 조밀성

조밀성(Compactness)은 위상수학 분야에서 가장 중요한 개념중의 하나이다. 하지만 처음 조밀성에 대한 정의를 처음 접할땐, 그 중요성이 한 눈에 와 닿지는 않는게 사실이다. 그것은 아마 다른 개념들과는 (예를 들어, 연속성(Continuity)이나 연결성(Connectedness) 등) 다르게 그 개념이 쉽게 가시적으로 눈에 들어오지 않기 때문일 것이다. 조밀성이란, 어떠한 위상 $X$의 임의의 열린 덮개(open cover)가 항상 유한한 부분 덮개(subcover)를 가짐을 말한다. 이를 수학적인 용어로 다시 표현해 보자. $X$의 열린 집합들의 모임 $\{U_{\alpha}\}_{\alpha \in A}$가 다음을 만족한다고 하자. (이때, $A$는 유한, 가산, 비가산 모두 상관 없다)

\[ X = \bigcup_{\alpha \in A} U_{\alpha}. \]

그러면 $A$의 유한 부분집합 $S = \{\alpha_1,\, \alpha_2,\, \dots,\, \alpha_n\}$가 존재하여,

\[ X = \bigcup_{i=1}^{n} U_{\alpha_n}. \]

$X$가 임의의 $\{U_{\alpha}\}$에 대하여, 위의 성질을 만족할 때 $X$를 조밀하다(compact)고 한다. (조밀성에 관한 자세한 내용은 별개의 글에서 따로 다루도록 하겠다.)

자, 이제 귀납법(induction)을 얘기하는데 왜 조밀성에 대한 얘기로 시작을 했는지 생각해보자. 우리는 이미 앞서 수학적 귀납법(mathematical induction)과 최소 정렬 정리(well-ordering principle)이 서로 동치임을 알아 보았다. 이와 유사하게, 임의의 공간 $X$의 조밀성의 동치명제로써 위상적 귀납법(topological induction)을 정의하려고 한다.

먼저, 다음의 정리를 살펴보자.

정리. 위상 공간 $X$에 대하여 다음 두 명제는 동치이다.

• $X$는 조밀하다.

• $X$의 임의의 집합에 관한 명제 $P$가

  1. 모든 $x \in X$에 대하여, $x$의 열린 근방(open neighborhood) $U$가 존재하여, $P(U)$가 참이다.

  2. 만약 $P(A_1),\, P(A_2),\, \dots,\, P(A_n)$이 모두 참이면, $P(\cup A_i)$도 참이다.

  를 만족하면, $P(X)$ 역시 참이다.

위 정리에 대한 증명은 다음과 같다.

증명. 먼저 $X$가 조밀하다고 가정하자. 조건 1에 의하여 $x \in X$의 열린 근방 중 명제 $P$가 참이 되게 하는 근방 $U_x$을 정의한다. 이제 모든 $x \in X$에 대하여 그러한 열린 근방을 모은 집합 $\{U_x\}_{x \in X}$은 자명하게 $X$의 열린 덮개가 된다. 따라서 $X$의 조밀성에 의하여 $\{U_x\}$의 유한 부분 덮개 $\{U_{x_1},\, U_{x_2},\, \ldots,\, U_{x_n} \}$가 존재한다. 이제 각각의 $P(U_{x_i})$가 참이므로 조건 2에 의하여,

\[ P\left(\bigcup_{i=1}^{n} U_{x_i}\right) = P(X) \]

또한 참이 된다.

이제 위의 귀납법이 참이라 가정하자. $X$가 조밀함을 보이기 위하여, $\{U_{\alpha}\}_{\alpha \in A}$가 $X$의 임의의 열린 덮개라 하자. $X$의 부분집합 $A$에 대하여, 명제 $P(A)$를 '$A$는 $\{U_{\alpha}\}$의 유한 부분 덮개로 덮혀진다.'라고 정의하자. 그러면, $P$가 귀납 가정 1과 2를 만족함을 보여야 한다.

먼저 임의의 $x \in X$에 대하여 $x$를 포함하는 $\{U_{\alpha}\}$의 원소가 존재하므로, 조건 1을 만족함을 알 수 있다.

또한 $P(A_1),\, P(A_2),\, \dots,\, P(A_n)$이 모두 참이라 가정하면, 각각의 $A_i$들은 $\{U_{\alpha}\}$의 유한 부분 덮개들로 덮혀 지므로, $A_i$들의 합집합 $\cup_i A_i$ 또한 $\{U_{\alpha}\}$의 유한 부분 덮개로 덮혀진다. 따라서 $P(\cup_i A_i)$ 또한 참이 되어 조건 2를 만족함을 알 수 있다.

따라서 귀납법에 의하여, $P(X)$ 또한 참이 되고 따라서 $X$는 $\{U_{\alpha}\}$의 유한 부분 덮개로 덮혀진다. 즉, $X$는 조밀하다. □

위의 정리에 의하여, 우리는 임의의 조밀한 위상 공간 $X$에 대하여 위상적 귀납법을 이용할 수 있게 된다.

위 위상적 귀납법과 동치인 조건에 대해 살펴보자.

$X$의 부분집합 $A$에 대한 명제 $P$가

1. 모든 $x \in X$에 대하여, $x$의 열린 근방(open neighborhood) $U$가 존재하여, $P(U)$가 참이다.

2. 만약 $P(U)$가 참이면 $P(\operatorname{cl}(U))$도 참이다.

를 만족하면, $P(X)$ 역시 참이다.