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다항함수/계승함수 형태로 이루어진 무한급수의 값
이전 글 다항함수/지수함수 형태로 이루어진 된 무한급수의 값 에서 다항함수를 지수함수로 나눈 형태의 무한급수의 값을 구하는 일반적인 방법에 대하여 생각해 보았다. 이번에는 다음과 같이 \[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^2}{n!}, \quad \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^3 - 1}{n!}, \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2 - 3}{(-1)^n (n+1)!},\, \ldots \] 다항함수를 계승함수로 나눈 형태의 무한급수의 값을 구하는 일반적인 방법에 대하여 알아볼 것이다. 다시 한번 $\Delta(k,\, n)$의 정의로 시작한다. 정의. 주어진 다항식 $p(x)$와 음이 아닌 자연수 $k \geq 0$에 대하여, $\Delt..
Others/High School Math  |  2020. 1. 11. 13:32
다항함수/지수함수 형태로 이루어진 무한급수의 값
이번 글에서는 다음과 같이 다항함수를 지수함수로 나눈 형태의 무한급수들 \[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{2^n}, \quad \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^2-3n+2}{4^{n+1}}, \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n-2)^3}{(-3)^n} ,\, \ldots \] 의 값을 구하는 일반적인 방법에 대하여 알아볼 것이다. 이를 위해서 먼저 다음의 정의가 필요하다. 정의. 주어진 다항식 $p(x)$와 음이 아닌 자연수 $k \geq 0$에 대하여, $\Delta(p\,;\, k,\, x)$를 다음과 같이 정의한다. \[ \begin{align*} \Delta(p\,;\,0,\, x) &= p(x), \quad \forall \, ..
Others/High School Math  |  2020. 1. 8. 10:45
피보나치 수열(Fibonacci sequence)과 역코탄젠트(arccotangent) 함수
다음과 같이 귀납적으로 정의된 수열 \[ F_{0} = 0,\, F_{1} = 1,\, F_{n+1} = F_{n} + F_{n-1} \, (n \geq 1) \] 을 피보나치 수열(Fibonacci sequence)이라 한다. 이번 글에서는 카시니 항등식을 이용한 피보나치 수열과 역코탄젠트 (또는 역탄젠트) 함수 사이의 관계에 대해서 알아보도록 하자. $ $ 정리. 카시니 항등식(Cassini's identity) 임의의 자연수 $n \in \N$에 대하여 다음 항등식이 성립한다. \[ F_{n+1}F_{n-1} - F_{n}^{2} = (-1)^{n} \] $ $ 증명. 카시니 항등식을 증명하기 전에 귀납법을 이용하여 다음 항등식을 먼저 증명하도록 하자. \[ \begin{bmatrix} F_{n +..
Others/High School Math  |  2019. 4. 8. 20:10
등비수열을 부분수열로 갖는 등차수열
아래과 같이 주어진 등차수열 \[ 1,\, 4,\, 7,\, \ldots,\, 1 + 3n,\, \ldots \] 의 경우는 등비수열인 부분수열 $(4^n)$을 가짐을 간단히 확인할 수 있다. (물론 이 외에도 무한히 많은 등비수열인 부분수열이 존재한다.) 또한 아래와 같이 주어진 등차수열 \[ \sqrt{2},\, 2\sqrt{2},\, 3\sqrt{2},\, \ldots,\, n\sqrt{2},\, \ldots \] 의 경우도 등비수열 $(\sqrt{2} \cdot 3^n)$을 부분수열로 갖는다. 반면 아래와 같이 주어진 등차수열 \[ 1,\, 1 + \sqrt{2},\, 1 + 2\sqrt{2},\, \ldots,\, 1 + n\sqrt{2},\, \ldots \] 의 경우는 어떻게 하더라도 등비수..
Others/High School Math  |  2018. 10. 9. 04:29
삼각함수의 $n$배각공식과 체비쇼프 방법(Chebyshev method)
지난 글에서는 드 무아브르 공식(de Moivre's formula)를 이용하여 사인 함수과 코사인 함수의 $n$배각 공식을 간단히 얻는 방법을 살펴 보았다. 이번 글에서는 코사인 함수, 사인 함수, 탄젠트 함수의 $n$배각공식에 재귀적으로 얻는 체비쇼프 방법(Chebyshev method)에 대해서 알아보도록 하자. $ $ 코사인 함수에 대한 체비쇼프 방법 정리. 코사인 함수에 대한 체비쇼프 방법 임의의 정수 $n \geq 2$에 대하여 다음이 성립한다. \[ \cos(nx) = 2 \cos(x) \cos((n-1)x) - \cos((n-2)x) \tag*{$(1)$} \] $ $ 증명. 먼저 삼각함수의 덧셈정리를 이용하면 $n \geq 2$일 때, 다음을 얻는다. \[ \begin{align*} \c..
Others/High School Math  |  2018. 7. 2. 08:56
삼각함수의 $n$배각공식과 드 무아브르 공식(de Moivre's formula)
삼각함수에 대한 모든 항등식은 아래 삼각함수의 덧셈정리로 부터 증명할 수 있다. \[ \begin{align*} \sin(x \pm y) &= \sin(x) \cos(y) \pm \cos(x) \sin(y) \\[5px] \cos(x \pm y) &= \cos(x) \cos(y) \mp \sin(x) \sin(y) \end{align*} \] 특히 삼각함수의 두배각공식(double angle formula)는 위 식에서 $y=x$로 둠으로써 얻을 수 있다. \[ \begin{align*} \sin(2x) &= \sin(x + x) \\[5px] &= \sin(x) \cos(x) + \cos(x) \sin(x) \\[5px] &= 2 \sin(x) \cos(x) \\[15px] \cos(2x) &= \co..
Others/High School Math  |  2018. 7. 2. 08:55
조립제법(synthetic division)의 원리와 응용
조립제법의 원리 정리. 루피니-호너 방법(Ruffini-Horner method) 다항식 $p(x)$가 다음과 같이 주어졌다고 하자. \[ p(x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + a_{3}x^{3} + \cdots + a_{n}x^{n} \] 이제 주어진 실수 $x_{0} \in \R$에 대하여 다음과 같이 수열 $\langle b_i \rangle$를 정의한다. \[ \begin{align*} b_{n} &:= a_{n} \\[5px] b_{n-1} &:= a_{n-1}+b_{n}x_{0} \\[5px] &{} \quad \vdots \\[5px] b_{0} &:= a_{0}+b_{1}x_{0} \end{align*} \] 그러면 $b_0 = p(x_{0})$가 성립한다. 증..
Others/High School Math  |  2018. 4. 5. 01:13
연속적인 $2n-1$개의 자연수들의 제곱의 합
연속적인 세 자연수 $3,\,4,\,5$ 사이에는 우리에게 잘 알려진 피타고라스 정리(Pythagorean theorem)가 성립한다.\[ 3^2 + 4^2 = 5^2 \]나아가 연속적인 다섯 자연수 $10,\, \ldots,\,14$와 연속적인 일곱 자연수 $21,\, \ldots,\, 27$ 사이에도 위와 비슷한 관계가 성립함을 알 수 있다.\[ \begin{align*} 3^2 + 4^2 &= 5^2 \\[5px] 10^2 + 11^2 + 12^2 &= 13^2 + 14^2 \\[5px] 21^2 + 22^2 + 23^2 + 24^2 &= 25^2 + 26^2 + 27^2 \end{align*} \]일반적으로 임의의 자연수 $n \in \N$에 대하여, 연속적인 $2n+1$개의 자연수 $x-n,\,..
Others/High School Math  |  2017. 11. 14. 16:00
"소수의 개수는 무한하다"에 대한 한줄짜리 증명
2015년에 발표된 논문 [Sam Northshield, "A One-Line Proof of the Infinitude of Primes", The American Mathematical Monthly, Vol. 122, No. 5 (May 2015), p. 466]에는 소수의 가수가 무한함을 보이는 한줄짜리 증명이 실려있다. (아래의 증명은 설명의 편의를 위해 약간의 설명을 덧붙인 것이다.) 정리. 소수의 개수는 무한하다. 증명. 소수의 개수가 유한하다고 가정하고, 이 유한한 소수들의 곱을 $Q$라 하자. \[ 0 \overset{(1)}{ 0$이 성립한다. 따라서 첫번째 부등식이 성립함을 알 수 있다. $\sin$은 주기가 $2\pi$인 함수이다. 즉, 임의의 실수 $x$와 정수 $k$에 대하여 $\..
Others/High School Math  |  2017. 11. 14. 02:32
더 많은 특수각에 대한 삼각함수의 값
특수각에 대한 삼각함수의 값은 아래와 같이 주어진다. 아래 표에서 파란색으로 나타낸 숫자들의 변화에 주목하자. 각 $(a)$ $\sin(a)$ 또는 $\cos(b)$ 각 $(b)$ deg rad deg rad 0 0 $\dfrac{\sqrt{\textcolor{blue}{0}}}{2}$ $=$ $0$ 90 $\dfrac{\pi}{2}$ 30 $\dfrac{\pi}{6}$ $\dfrac{\sqrt{\textcolor{blue}{1}}}{2}$ $=$ $\dfrac{1}{2}$ 60 $\dfrac{\pi}{3}$ 45 $\dfrac{\pi}{4}$ $\dfrac{\sqrt{\textcolor{blue}{2}}}{2}$ 45 $\dfrac{\pi}{4}$ 60 $\dfrac{\pi}{3}$ $\dfrac{\s..
Others/High School Math  |  2017. 10. 2. 12:51

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