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다항함수/계승함수 형태로 이루어진 무한급수의 값
이전 글 다항함수/지수함수 형태로 이루어진 된 무한급수의 값 에서 다항함수를 지수함수로 나눈 형태의 무한급수의 값을 구하는 일반적인 방법에 대하여 생각해 보았다. 이번에는 다음과 같이 ∑n=0∞n2n!,∑n=0∞n3−1n!,∑n=1∞n2−3(−1)n(n+1)!,… 다항함수를 계승함수로 나눈 형태의 무한급수의 값을 구하는 일반적인 방법에 대하여 알아볼 것이다. 다시 한번 Δ(k,n)의 정의로 시작한다. 정의. 주어진 다항식 p(x)와 음이 아닌 자연수 k≥0에 대하여, $\Delt..
Others/High School Math  |  2020. 1. 11. 13:32
다항함수/지수함수 형태로 이루어진 무한급수의 값
이번 글에서는 다음과 같이 다항함수를 지수함수로 나눈 형태의 무한급수들 ∑n=0∞n2n,∑n=0∞n2−3n+24n+1,∑n=1∞(n−2)3(−3)n,… 의 값을 구하는 일반적인 방법에 대하여 알아볼 것이다. 이를 위해서 먼저 다음의 정의가 필요하다. 정의. 주어진 다항식 p(x)와 음이 아닌 자연수 k≥0에 대하여, Δ(p;k,x)를 다음과 같이 정의한다. \[ \begin{align*} \Delta(p\,;\,0,\, x) &= p(x), \quad \forall \, ..
Others/High School Math  |  2020. 1. 8. 10:45
피보나치 수열(Fibonacci sequence)과 역코탄젠트(arccotangent) 함수
다음과 같이 귀납적으로 정의된 수열 F0=0,F1=1,Fn+1=Fn+Fn−1(n≥1) 을 피보나치 수열(Fibonacci sequence)이라 한다. 이번 글에서는 카시니 항등식을 이용한 피보나치 수열과 역코탄젠트 (또는 역탄젠트) 함수 사이의 관계에 대해서 알아보도록 하자. 정리. 카시니 항등식(Cassini's identity) 임의의 자연수 n∈N에 대하여 다음 항등식이 성립한다. Fn+1Fn−1−Fn2=(−1)n 증명. 카시니 항등식을 증명하기 전에 귀납법을 이용하여 다음 항등식을 먼저 증명하도록 하자. \[ \begin{bmatrix} F_{n +..
Others/High School Math  |  2019. 4. 8. 20:10
등비수열을 부분수열로 갖는 등차수열
아래과 같이 주어진 등차수열 1,4,7,…,1+3n,… 의 경우는 등비수열인 부분수열 (4n)을 가짐을 간단히 확인할 수 있다. (물론 이 외에도 무한히 많은 등비수열인 부분수열이 존재한다.) 또한 아래와 같이 주어진 등차수열 2,22,32,…,n2,… 의 경우도 등비수열 (2⋅3n)을 부분수열로 갖는다. 반면 아래와 같이 주어진 등차수열 1,1+2,1+22,…,1+n2,… 의 경우는 어떻게 하더라도 등비수..
Others/High School Math  |  2018. 10. 9. 04:29
삼각함수의 n배각공식과 체비쇼프 방법(Chebyshev method)
지난 글에서는 드 무아브르 공식(de Moivre's formula)를 이용하여 사인 함수과 코사인 함수의 n배각 공식을 간단히 얻는 방법을 살펴 보았다. 이번 글에서는 코사인 함수, 사인 함수, 탄젠트 함수의 n배각공식에 재귀적으로 얻는 체비쇼프 방법(Chebyshev method)에 대해서 알아보도록 하자. 코사인 함수에 대한 체비쇼프 방법 정리. 코사인 함수에 대한 체비쇼프 방법 임의의 정수 n≥2에 대하여 다음이 성립한다. (1)cos⁡(nx)=2cos⁡(x)cos⁡((n−1)x)−cos⁡((n−2)x) 증명. 먼저 삼각함수의 덧셈정리를 이용하면 n≥2일 때, 다음을 얻는다. \[ \begin{align*} \c..
Others/High School Math  |  2018. 7. 2. 08:56
삼각함수의 n배각공식과 드 무아브르 공식(de Moivre's formula)
삼각함수에 대한 모든 항등식은 아래 삼각함수의 덧셈정리로 부터 증명할 수 있다. sin⁡(x±y)=sin⁡(x)cos⁡(y)±cos⁡(x)sin⁡(y)cos⁡(x±y)=cos⁡(x)cos⁡(y)∓sin⁡(x)sin⁡(y) 특히 삼각함수의 두배각공식(double angle formula)는 위 식에서 y=x로 둠으로써 얻을 수 있다. \[ \begin{align*} \sin(2x) &= \sin(x + x) \[5px] &= \sin(x) \cos(x) + \cos(x) \sin(x) \[5px] &= 2 \sin(x) \cos(x) \[15px] \cos(2x) &= \co..
Others/High School Math  |  2018. 7. 2. 08:55
조립제법(synthetic division)의 원리와 응용
조립제법의 원리 정리. 루피니-호너 방법(Ruffini-Horner method) 다항식 p(x)가 다음과 같이 주어졌다고 하자. p(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+⋯+anxn 이제 주어진 실수 x0∈R에 대하여 다음과 같이 수열 ⟨bi⟩를 정의한다. bn:=anbn−1:=an−1+bnx0⋮b0:=a0+b1x0 그러면 b0=p(x0)가 성립한다. 증..
Others/High School Math  |  2018. 4. 5. 01:13
연속적인 2n−1개의 자연수들의 제곱의 합
연속적인 세 자연수 3,4,5 사이에는 우리에게 잘 알려진 피타고라스 정리(Pythagorean theorem)가 성립한다.32+42=52나아가 연속적인 다섯 자연수 10,…,14와 연속적인 일곱 자연수 21,…,27 사이에도 위와 비슷한 관계가 성립함을 알 수 있다.32+42=52102+112+122=132+142212+222+232+242=252+262+272일반적으로 임의의 자연수 n∈N에 대하여, 연속적인 2n+1개의 자연수 $x-n,\,..
Others/High School Math  |  2017. 11. 14. 16:00
"소수의 개수는 무한하다"에 대한 한줄짜리 증명
2015년에 발표된 논문 [Sam Northshield, "A One-Line Proof of the Infinitude of Primes", The American Mathematical Monthly, Vol. 122, No. 5 (May 2015), p. 466]에는 소수의 가수가 무한함을 보이는 한줄짜리 증명이 실려있다. (아래의 증명은 설명의 편의를 위해 약간의 설명을 덧붙인 것이다.) 정리. 소수의 개수는 무한하다. 증명. 소수의 개수가 유한하다고 가정하고, 이 유한한 소수들의 곱을 Q라 하자. \[ 0 \overset{(1)}{ 0이성립한다.따라서첫번째부등식이성립함을알수있다.\sin은주기가2\pi인함수이다.즉,임의의실수x와정수k에대하여\..
Others/High School Math  |  2017. 11. 14. 02:32
더 많은 특수각에 대한 삼각함수의 값
특수각에 대한 삼각함수의 값은 아래와 같이 주어진다. 아래 표에서 파란색으로 나타낸 숫자들의 변화에 주목하자. 각 (a) sin⁡(a) 또는 cos⁡(b) 각 (b) deg rad deg rad 0 0 02 = 0 90 π2 30 π6 12 = 12 60 π3 45 π4 22 45 π4 60 π3 $\dfrac{\s..
Others/High School Math  |  2017. 10. 2. 12:51

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