"소수의 개수는 무한하다"에 대한 한줄짜리 증명

2015년에 발표된 논문 [Sam Northshield, "A One-Line Proof of the Infinitude of Primes", The American Mathematical Monthly, Vol. 122, No. 5 (May 2015), p. 466]에는 소수의 가수가 무한함을 보이는 한줄짜리 증명이 실려있다. (아래의 증명은 설명의 편의를 위해 약간의 설명을 덧붙인 것이다.)

정리.

소수의 개수는 무한하다.

증명. 소수의 개수가 유한하다고 가정하고, 이 유한한 소수들의 곱을 $Q$라 하자.

\[ 0 \overset{(1)}{<} \prod_{p} \sin \left( \frac{\pi}{p} \right) \overset{(2)}{=} \prod_{p} \sin \left( \frac{\pi}{p} + \frac{2Q\pi}{p} \right) \overset{(3)}{=} \prod_{p} \sin \left( \frac{\pi(1+2Q)}{p} \right) \overset{(4)}{=} 0. \]

따라서 소수의 개수는 무한하다.

위 증명은 삼각함수에 대한 기본적인 지식만 있으면 간단히 이해할 수 있다. 증명을 각 단계별로 하나씩 살펴보도록 하자.

1. 먼저 모든 소수는 $1$보다 크기 때문에, 임의의 소수 $p$에 대하여 $\sin ( \frac{\pi}{p} ) > 0$이 성립한다. 따라서 첫번째 부등식이 성립함을 알 수 있다.
2. $\sin$은 주기가 $2\pi$인 함수이다. 즉, 임의의 실수 $x$와 정수 $k$에 대하여 $\sin(x) = \sin(x + 2k\pi)$가 성립한다. 또한 임의의 소수 $p$에 대하여 $\frac{Q}{p}$는 정수이므로,  $x = \frac{\pi}{p}$, $k = \frac{Q}{p}$를 대입하면 원하는 등식을 얻는다.
3. 간단히 (2)를 정리하면 된다.
4. 문제의 가정에 의해서 $1+2Q$는 어떤 소수 $p$로 나누어 떨어져야 한다. 따라서 $\frac{1+2Q}{p}$는 정수이다. 또한 임의의 정수 $k$에 대하여 $\sin(k\pi) = 0$이 성립하므로 주어진 등식을 얻는다.