연속적인 $2n-1$개의 자연수들의 제곱의 합

연속적인 세 자연수 $3,4,5$ 사이에는 우리에게 잘 알려진 피타고라스 정리(Pythagorean theorem)가 성립한다.

$$3^2+4^2=5^2$$

나아가 연속적인 다섯 자연수 $10,\dots ,14$와 연속적인 일곱 자연수 $21,\dots ,27$ 사이에도 위와 비슷한 관계가 성립함을 알 수 있다.

$$\begin{array}{rl}{3}^2+4^2& =5^2\\ {10}^2+{11}^2+{12}^2& ={13}^2+{14}^2\\ {21}^2+{22}^2+{23}^2+{24}^2& ={25}^2+{26}^2+{27}^2\end{array}$$

일반적으로 임의의 자연수 $n\in \mathbb{N}$에 대하여, 연속적인 $2n+1$개의 자연수 $x-n,\dots ,x+n$을 잘 택하여 처음 $n+1$개의 자연수의 제곱의 합이 나중 $n$개의 자연수의 제곱의 합과 같아지도록 할 수 있다. 다시 말해 아래의 식

$$\begin{array}{}(\ast )& (x-n{)}^2+\cdots +(x-1{)}^2+x^2=(x+1{)}^2+\cdots +(x+n{)}^2\end{array}$$

을 만족하는 ($n$보다 큰) 자연수 $x$가 언제나 존재한다. 또한 이 조건을 만족하는 자연수 $x$는 각각의 $n\in \mathbb{N}$에 대하여 유일하게 존재한다.

정리.

임의의 자연수 $n\in \mathbb{N}$에 대하여

$$T_n=\sum _{k=1}^{n}k=1+2+\cdots +n$$

이라 정의하자. (이 $T_n$을 $n$번째 삼각수(triangle number)라 부른다.) 그러면 $2n+1$개의 연속적인 자연수들에 대한 등식 $(\ast )$를 만족하는 해는 $x=4T_n$이 유일하다. 즉, 오직 $x=4T_n$에 대하여 다음 등식이 성립한다.

$$(4T_n-n{)}^2+\cdots +(4T_n-1{)}^2+(4T_n{)}^2=(4T_n+1{)}^2+\cdots +(4T_n+n{)}^2$$

증명. 자연수 $n\in \mathbb{N}$을 고정하자. 먼저 임의의 두 자연수 $x,k\in \mathbb{N}$에 대하여 다음 등식이 성립한다.

$$(x-k{)}^2+4kx=(x+k{)}^2$$

이제 위 등식에 $k=1,2,\dots ,n$을 대입한 뒤 모두 더해주면,

$$(x-n{)}^2+\cdots +(x-1{)}^2+4T_{n}x=(x+1{)}^2+\cdots +(x+n{)}^2$$

를 얻는다. 위 식을 $(\ast )$와 비교하면 $x^2=4T_{n}x$이어야 하므로 $x=0$ 또는 $x=4T_n$을 얻는다. 이 중 $x=0$은 조건을 만족하지 않으므로, $(\ast )$를 만족하는 유일한 해는 $x=4T_n$임을 알 수 있다.

수학 저널 Mathematics Magazine에 2000년에 실린 글 [Michael Boardman, Mathematics Magazine, Vol. 73, No. 1 (Feb., 2000), p. 59]에는 위 정리에서 $n=3$인 경우에 대한 말없는 증명(proof without words)가 실려있다.